Aplicabilidad de los modelos de onda cinemática y difusiva Victor M. Ponce, Ruh-Ming Li, y Daryl B. Simons Versión online 2015 [Versión original 1978]

1.  INTRODUCCIÓN

Los modelos de onda cinemática y difusiva han encontrado una amplia aplicación en la ingeniería práctica. Ambos son aproximaciones al fenómeno de flujo no permanente en canales, el cual está descrito por las ecuaciones de Saint Venant. El modelo cinemático supone que los términos de inercia y gradiente de presiones son despreciables en comparación con los términos de fricción y gravedad. El modelo difusivo asume que los términos de inercia son despreciables en comparación con los términos de gradiente de presiones, fricción y gravedad. Aunque aproximados, se ha demostrado que tanto el modelo cinemático como el difusivo son descripciones bastante adecuadas del fenómeno físico en una variedad de casos. El modelo cinemático se ha aplicado con éxito al flujo superficial, así como al enrutamiento de una onda de inundación con crecida lenta. La atenuación de la onda de inundación, sin embargo, está mejor descrita por el modelo difusivo, ya que el modelo cinemático, por definición, no admite atenuación. ¿Qué tienen en común el flujo superficial y las ondas de inundación con crecida lenta que pueden descritos con el uso de modelos aproximados? La respuesta a esta pregunta es el tema de este artículo.

2.  PROPAGACIóN DE ONDAS EN EL FLUJO DE CANALES

Recientemente, Ponce y Simons (4) han desarrollado una solución analítica para la propagación de ondas del flujo en canales, basada en una forma linealizada de las ecuaciones de Saint Venant presentada por Lighthill y Whitham (3). Ponce y Simons tomaron las ecuaciones linealizadas y buscaron una solución en forma sinusoidal, la cual condujo a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales homogéneas. La condición no trivial para el determinante de la matriz de coeficientes dio como resultado la celeridad de propagación y el decremento logarítmico (5) de pequeñas perturbaciones, en términos del flujo permanente, el número de Froude y un número de onda adimensional representativo del componente no permanente del flujo. Además, Ponce y Simons calcularon la celeridad de propagación y el decremento logarítmico correspondiente a los modelos de onda cinemática y difusiva. Como se muestra aquí, estos hallazgos pueden utilizarce para determinar los límites de aplicabilidad de estos modelos aproximados, comparando su celeridad de propagación y decremento logarítmico con los de las ecuaciones de Saint Venant.

Al principio, se reconoce que la validez de la teoría está limitada por los supuestos utilizados en su formulación. Por ejemplo, las ecuaciones linealizadas se han obtenido despreciando términos de segundo orden. Sin embargo, los hallazgos de la teoría proporcionan una buena comprensión del fenómeno físico, por lo que su validez como primera aproximación está fuera de toda duda.

3.  DEFINICIONES

Se presentan las siguientes definiciones: u_o = velocidad media del flujo permanente; d_o = profundidad del flujo permanente; S_o = pendiente de fondo; L = longitud de onda de la perturbación sinusoidal; T = período de onda de la perturbación sinusoidal; c = celeridad de la onda; L_o = longitud de referencia en el canal; F_o = número de Froude del flujo permanente; σ_* = número de onda adimensional del componente no permanente; y τ_* = período de onda adimensional del componente no permanente, de tal manera que:

L            c  =  ____           T

(1)

do            Lo  =  ____            So

(2)

uo            Fo  =  ____________             ( g do )1/2

(3)

2 π            σ*  =  ______   Lo               L

(4)

uo            τ*  = T  ______                 Lo

(5)

en el cual g = aceleración de la gravedad.

La celeridad de propagación c se puede expresar en forma adimensional dividiéndola por u_o. La celeridad adimensional c_* es:

c            c*  =  _____             uo

(6)

El decremento logarítmico δ es definido de la siguiente manera (5):

δ = ln (α1) - ln (αo)

(7)

en el cual α_o y α₁ = amplitudes de onda al principio y al final de un período de onda, respectivamente.

Ponce y Simons (4) han demostrado que en el modelo dinámico (aquél basado en las ecuaciones de Saint Venant), la celeridad de propagación adimensional c_* y el decremento logarítmico δ son funciones de F_o y σ_* (ver Apéndice I). En la práctica, sin embargo, es deseable expresar el parámetro de espacio σ_* en función del parámetro de tiempo τ_*. Combinando las Ecs. 1, 4, 5, y 6:

2 π            τ*  =  ________             c* σ*

(8)

Por lo tanto, ambos c_* y δ se pueden expresar en función de F_o y τ_* mediante el uso de la Ec. 8. Además, los resultados de la teoría sugieren que para la comparación entre los modelos de difusión y dinámico, un parámetro más adecuado es τ_*/F_o. Haciendo uso de las Ecs. 2, 3 y 5, τ_*/F_o se expresa como sigue:

τ*              So uo            _____  = T  ________    Fo                 do Fo

(9)

o también:

τ*                     g        _____  = T So ( _____ ) 1/2       Fo                    do

(10)

4. ONDA CINEMÁTICA VS ONDA DIFUSIVA

El modelo cinemático no funciona cuando no se justifica la omisión del término del gradiente de presiones. En consecuencia, cabe comparar los resultados de los modelos de onda cinemática y difusiva. Ambos modelos tienen una celeridad de propagación igual a 1.5 veces la velocidad del flujo de equilibrio. Sin embargo, difieren en la atenuación. El decremento logarítmico del modelo cinemático es cero (0), es decir, el modelo cinemático no permite la atenuación física. La atenuación que a menudo se observa en los esquemas numéricos basados en el modelo cinemático es de naturaleza artificial (amortiguamiento numérico debido a errores de truncamiento) (1). El decremento logarítmico del modelo de difusión es (4):

2 π             δd  = - ______ σ*               3

(11)

Sustituyendo la Ec. 8 en la Ec. 11:

4          π 2            δd  = - ____  (________)              3        c*  σ*

(12)

Desde que:

3              c*  = c*d = ____                      2

(13)

resulta que:

8 π 2              δd = - ________                9 τ*

(14)

El modelo cinemático será válido cuando el factor de atenuación del modelo de difusión, e^δ_d, sea cercano a 1. La Tabla 1 muestra los valores de e^δ_d para varios valores de τ_*. Por lo tanto, para obtener una precisión de al menos el 95% de la solución de onda cinemática después de un período de propagación, el período adimensional τ_* debe ser mayor que 171.

Por ejemplo, para una corriente con S_o = 0.0001, d_o = 10 ft (3.05 m) y u_o = 3 pies (0.91 m/s), una precisión de al menos 95% en la amplitud de onda después de un período de propagación requiere que el período T sea:

τ* do           171 × 10            T  ≥  ________ =  _____________ ≅ 66 días            So uo         0.0001 × 3

(15)

Si se conocen la descarga y la fricción, u_o y d_o pueden ser calculados mediante el uso de la fórmula del flujo uniforme (Manning o Chezy).

Otro ejemplo suponiendo un valor de pendiente correspondiente al flujo superficial. Si S_o = 0.01, d_o = 1 pie (0.305 m) y u_o = 4 pies (1.22 m/s), para este caso:

T ≥ 1.2 hr

(16)

Por lo tanto, para pendientes suaves, el período tiene que ser muy largo para que se aplique el modelo cinemático (períodos tales como las crecientes lentas en una onda de inundación). Para pendientes altas como las que prevalecen en el flujo superficial, el período no necesita ser largo. Cuanto más pronunciada es la pendiente, más corto es el período necesario para satisfacer la condición de flujo cinemático. La conclusión es que la mayoría de los problemas de flujo superficial se pueden modelar asumiendo un flujo cinemático. Del mismo modo, las crecientes lentas de las ondas de inundación, las cuales se trasladan sin cambios en su forma, también se pueden modelar con el modelo cinemático.

TABLA 1.  Período adimensional τ* versus factor de atenuación eδd.
eδd	τ*
0.99	873
0.95	171
0.90	83

Es necesario anotar que los criterios de la Tabla 1 se basan en una comparación de la atenuación (descrita por el decremento logarítmico δ) de las soluciones analíticas para los modelos cinemático y difusivo. Sin embargo, en una solución numérica, a menudo los errores de truncamiento pueden enmascarar el carácter no difusivo de la solución analítica de la onda cinemática, con el resultado de que la solución numérica de la onda cinemática puede parecerse a la solución analítica de la onda de difusión, complicando aún más el modelado (1).

5.  ONDA DIFUSIVA VERSUS ONDA DINÁMICA

El siguiente paso en el análisis es comparar la celeridad de propagación c_*d y el decremento logarítmico δ_d del modelo de onda difusiva con aquéllos correspondientes al modelo de onda dinámica. Para F_o < 2, la celeridad de propagación de la onda de difusión, c_*d = 1.5, es un límite inferior para la celeridad dinámica. Dado que aquí sólo interesa la onda dinámica primaria (la que se traslada aguas abajo), la celeridad de la onda dinámica se denomina aquí c_*1.

La Figura 1 muestra la variación de c_*1 en función de τ_*/F_o. Puede verse que c_*1 tiende a c_*d cuando τ_*/F_o aumenta, para todos los valores de F_o. La Figura 2 es una gráfica con escala aritmética de c_*1/c_*d versus τ_*/F_o para 5 ≤ τ_*/F_o ≤ 30. En base a esta figura, para τ_*/F_o ≥ 8, el error en la celeridad del modelo difusivo está dentro del 5%. La curva que se muestra para F_o = 0.01 es un límite del error.

Fig. 1.  Celeridad adimensional del modelo dinámico c*1 versus τ*/ Fo.

Fig. 2.   Razón de celeridades c*1/c*d versus τ*/Fo.

El mantener el error de celeridad dentro del 5% no garantiza que el error de amplitud permanecerá dentro de la misma tolerancia. La Figura 3 es una gráfica de e ^{δ₁ - δ_d} versus τ_*/F_o, en la cual δ₁ y δ_d son los decrementos logarítmicos de los modelos dinámico y difusivo, respectivamente. La Figura 3 muestra que en el rango de 0.1 ≤ F_o ≤ 0.4, para τ_*/F_o > 16 el error de atenuación del modelo difusivo está dentro del 5%. Para un rango más amplio de F_o, es decir, 0.01 ≤ F_o ≤ 1.0, τ_*/F_o ≥ 45. No es posible determinar un valor exacto del parámetro τ_*/F_o para un error dado, ya que es una función de F_o. Sin embargo, desde un punto de vista práctico, se postula un valor de τ_*/F_o > 30 (valores específicos de τ_*/F_o para un F_o dado pueden tomarse directamente de la Fig. 3).

Fig. 3.  Relación de los factores de atenuación e δ1 - δd versus τ*/Fo.

Aplicando este criterio al mismo ejemplo utilizado anteriormente, para S_o = 0.0001 y d_o = 10 pies (3.05 m):

g        T So ( ____ ) 1/2  ≥ 30                 do

(17)

lo que resulta en:

T ≥ 1.9 días

(18)

En el segundo ejemplo citado anteriormente, para S_o = 0.01 y d_o = 1 pie (0.305 m):

T ≥ 8.8 min

(19)

Sobre la base de los ejemplos mostrados, se concluye que el modelo difusivo es aplicable a una gama más amplia de pendientes y períodos que el modelo cinemático, con la ventaja adicional de que el modelo difusivo sí permite la atenuación física. Sin embargo, si no se satisface la desigualdad (Ec. 17), el modelo de difusivo no satisface y sólo el modelo dinámico puede explicar adecuadamente la translación y atenuación de la onda.

---

6.  MODELO DE ONDA DINÁMICA

Las Figuras 1 y 4 muestran c_*1 y e^δ₁ en función de F_o y τ_*/F_o, respectivamente. Para τ_*/F_o ≤ 30, i.e., es decir, el rango en el cual sólo se aplicaría el modelo dinámico, se muestra una atenuación muy fuerte. Por ejemplo, para τ_*/F_o = 30, y F_o = 0.2, e^δ₁ = 0.23. Esto explica las características no permanentes de la onda dinámica: una vez formada, se atenuará rápidamente. Al respecto, es de interés reiterar aquí las observaciones de Hayami (2) sobre la naturaleza no permanente de las perturbaciones dinámicas en el flujo en canales. Razonó que, dadas todas las irregularidades presentes en las corrientes naturales, es sorprendente que el patrón general del flujo se asemeje mucho al del flujo uniforme, en equilibrio. Esto se debe a las fuertes tendencias disipativas de las perturbaciones dinámicas, cuya no permanencia se manifiesta en la semblanza de un flujo uniforme. Sin embargo, las ondas cinemáticas y difusivas no comparten las fuertes tendencias disipativas de las ondas dinámicas debido precisamente a su larga duración o pendientes relativamente altas, o ambas a la vez.

Fig. 4.  Factor de atenuación del modelo dinámico e δ1 versus τ*/Fo.

---

7.  CONCLUSIONES

La aplicabilidad de los modelos cinemático y difusivo se evalúa comparando las características de propagación de las perturbaciones de las ondas sinusoidales al flujo uniforme, para los modelos cinemático, difusivo y dinámico (el modelo dinámico es el que se basa en las ecuaciones completas de Saint Venant). La comparación permite determinar los criterios que deben satisfacerse si los modelos cinemático y difusivo han de simular los fenómenos físicos dentro de una precisión establecida.

Se demuestra que la pendiente del lecho y el período de la onda (similar a la duración de la onda para aquéllas de forma diferente a la sinusoidal) son las características físicas importantes para determinar la aplicabilidad de los modelos aproximados. Las pendientes más grandes del lecho o los períodos de onda más largos satisfacerán los criterios de aplicabilidad. En la práctica, las pendientes más altas del lecho son las del flujo superficial y los períodos de onda más largos son los correspondientes a las ondas de avenida de crecimiento lento.

Se demuestra que el modelo de difusivo es aplicable a una gama más amplia de pendientes de fondo y períodos de onda que el modelo cinemático. Cuando los dos modelos fallan, sólo el modelo dinámico simulará el fenómeno físico. Sin embargo, el modelo dinámico tiene tendencias disipativas marcadamente fuertes. Esta conclusión ha sido corroborada ampliamente en la literatura de ingeniería hidráulica.

---

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Agencia de Protección Ambiental de los Estados Unidos, el Laboratorio de Investigación Ambiental, Atenas, Georgia, y el Servicio Forestal del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos, la Estación Experimental de Bosques y Montañas de las Montañas Rocosas, Flagstaff, Arizona, por su apoyo a este estudio.

---

APÉNDICE I.  ECUACIONES PARA LA CELERIDAD DE PROPAGACIÓN c_* Y DECREMENTO LOGARÍTIMICO δ

Las ecuaciones para c_* y δ del modelo dinámico son las siguientes:

c*1 = 1 + D

(20a)

c*2 = 1 - D

(20b)

B  - E              δ1  = - 2 π   __________                        | 1 + D |

(21a)

B + E              δ2  = - 2 π   __________                         | 1 - D |

(21b)

en la cual A = (1/F_o²) - B ²;    B = 1/(σ_*F_o²);    C = (A ² + B ²)^1/2;    D = [(C + A)/ 2]^1/2; y E = [(C - A)/ 2]^1/2.

---

APÉNDICE II.  BIBLIOGRAFÍA

Cunge, J. 1969. "On the Subject of a Flood Propagation Computation Method (Muskingum Method)," Journal of Hydraulic Research, Vol. 7, No. 2, 205-230. Hayami, S. 1951. "On the Propagation of Flood Waves," Bulletin of the Disaster Prevention Research Institute, Kyoto, Japan, Vol. 1, No. 1, Dec.. Lighthill, M. J., and G. B. Whitham. 1955. "On Kinematic Waves 1. Flood Movement in Long Rivers," Proceedings, Royal Society of London, London, England, Series A, Vol. 229, 281-316. Ponce, V. M., and D. B. Simons. 1977. "Shallow Wave Propagation in Open Channel Flow," Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 103, HY12, Proc. Paper, 13392. Dec., 1461-1476. Wylie, C. R. 1966. Advanced Engineerings Mathematics, 3rd ed., McGraw-Hill Book Co. Inc., New York, N.Y.

---

APÉNDICE III.  NOTACIÓN

    En este artículo se utilizan los siguientes símbolos:

α_o = amplitud de onda al inicio del período;

α₁ = amplitud de onda al final del período;

c = celeridad de onda, Ec. 1;

c_* = celeridad de onda adimensional, Ec. 6;

d_o = profundidad del flujo uniforme (permanente);

F_o = número de Froude del flujo uniforme (permanente);

g = aceleración de la gravedad;

L = longitud de onda;

L_o = longitud de referencia del canal, Ec. 2;

S_o = pendiente de fondo;

u_o = velocidad media del flujo uniforme (permanente);

T = período de onda;

δ = ldecremento logarítmico, Ec. 7;

τ_* = período adimensional, Ec. 5; y

σ_* = número de onda adimensional, Ec. 4.

---

Subíndices:

1 = perteneciente a la onda dinámica primaria (la que se propaga aguas abajo);

d = perteneciente al modelo difusivo; y

k = perteneciente al modelo cinemático.

---