La recurrencia de estas ondas pulsantes o de rollo, o pulsantes, en ríos canalizados de la región de La Paz Bolivia ha sido documentada por Molina et al. (1995).

En este artículo, revisamos la teoría del canal inherentemente estable, aclaramos su base física y matemática y desarrollamos una calculadora en línea. Se espera que esta contribución anime a la profesión de ingeniería hidráulica a considerar el canal inherentemente estable para evitar el riesgo causado por las ondas pulsantes o de rollo en canales empinados.

2.  ANTECEDENTES

El criterio para la inestabilidad del flujo en canales se debe a Vedernikov (1945, 1946). Powell (1948) dio a este criterio el nombre de número de Vedernikov. Posteriormente, Craya (1952) aclaró el concepto, potenciando su base teórica. El criterio de Vedernikov establece que la superficie del agua de un canal empinado puede volverse inestable, con la posibilidad de desarrollar ondas pulsantes o de rollo, cuando la celeridad de la onda cinemática relativa, es decir, la celeridad de Seddon (Seddon, 1900), iguala o excede la celeridad de la onda dinámica relativa, o celeridad de Lagrange (Lagrange, 1788). En su detallado estudio de la propagación de ondas superficiales en el flujo en canales, Ponce y Simons (1977) confirmaron la validez del criterio de Vedernikov, el cual para el caso de la fricción de Chezy equivale al número de Froude F ≥ 2.

Las ondas pulsantes o de rollo son un tren de ondas que se producen en canales empinados de pared rígida, revestidos con mampostería u hormigón. La Figura 1 muestra una fotografía antigua (1907) de un evento de ondas de rollo en el canal Grünnbach de los Alpes suizos (Cornish, 1907).

Cornish Fig. 1  Ondas de rollo en un canal revestido con mampostería en los Alpes suizos, c. 1907.

Las ondas de rollo son una ocurrencia bastante común en canales empinados y revestidos. El siguiente video muestra un tren de ondas de rollo en un canal urbano empinado.

Aquí revisamos la teoría de la inestabilidad de la superficie libre en el flujo de canal abierto. Partimos de la celeridad de la onda cinemática (Ponce, 2014a):

ck  =  β u

(1)

en la cual u = velocidad media del flujo, y β = exponente de la curva de gasto caudal-área (Q = αA^β). Por lo tanto, la celeridad relativa de la onda cinemática, es decir, la celeridad relativa a la velocidad del flujo, es:

ck  =  (β - 1) u

(2)

Los dos componentes de la celeridad de la onda dinámica son (Ponce, 2014b):

cd  =  u  ±  (g D )1/2

(3)

en la cual D es la profundidad hidráulica:

A D =  _____           T

(4)

en la cual A = área de flujo, y T = ancho superior.

La celeridad de la onda dinámica relativa es:

cd  =  (g D )1/2

(5)

El número de Vedernikov es la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica (Ponce, 1991):

(β - 1) u V  =  ____________             (g D )1/2

(6)

Para V > 1, el flujo se vuelve inestable, con la posibilidad para el desarrollo de ondas pulsantes o de rollo. Ponce y Maisner (1993) han demostrado que la condición V > 1 (equivalente al número de Froude F > 2 bajo la fricción de Chezy) es necesaria pero no suficiente; es decir, que no siempre puede conducir a ondas de rollo (ver también Montuori, 1965, p. 26). Ponce y Maisner (op. cit.) demostraron que las perturbaciones de las ondas se amplificarían dentro de un rango relativamente estrecho de números de onda adimensional, cerca del pico de la función de decremento logarítmico positivo (Fig. 2). Por lo tanto, consideramos que la escala de la perturbación juega un papel importante en la determinación de si se formarán o no ondas de rollo.

Fig. 2  Incremento logarítmico de la onda primaria para números de Froude F > 2 (fricción Chezy).

Discusión . En su análisis de estabilidad lineal del flujo inestable en canales, Ponce y Simons (1977) confirmaron los hallazgos de Lighthill y Whitham (1955) en el sentido de que las perturbaciones del flujo se amplificarían cuando la celeridad de la onda cinemática exceda la celeridad de la onda dinámica (Fig. 2). Además, Ponce (1992) comparó el transporte de masa y energía a lo largo del espectro de onda adimensional, y concluyó que para V > 1 las ondas cinemáticas sobrepasarían a las mixtas cinemático-dinámicas, y que, a su vez, estas últimas sobrepasarían a las dinámicas. Dado que las ondas cinemáticas transportan masa y las ondas dinámicas transportan energía, se ve claramente que en el sobrepaso de las ondas de energía por las ondas de masa debe residir la verdadera naturaleza de las ondas pulsantes o de rollo (Ponce, 2014c).

El número de Froude se define de la siguiente manera (Chow, 1959):

u F  =  __________           (g D )1/2

(7)

Combinando las Ec. 6 y Ec. 7:

V β - 1  =  _____                 F

(8)

La Ecuación 8 subraya la importancia del exponente [de la curva de gasto] β en el flujo en canales. La cantidad (β - 1) es la relación de los números de Vedernikov y Froude. Con estabilidad neutra, es decir, en ausencia de atenuación o amplificación de onda, el número de Vedernikov V = 1, y el número de Froude se convierte en F = F_en. De este modo:

1 β - 1  =  _______                 Fen

(9)

Por lo tanto:

1 Fen  =  ________                β - 1

(10)

En el régimen de flujo turbulento, bajo la fricción de Manning, el rango factible es: 1 ≤ β ≤ 5/3. Esto da lugar a tres tipos asintóticos de sección transversal (Ponce y Porras, 1995b; Ponce, 2014):

1. Hidráulicamente ancho, con β = 5/3, para el cual el perímetro mojado P es una constante (Fig. 3), y F_en = 1.5;

2. Triangular, con β = 4/3, para el cual el ancho superior T es proporcional a la profundidad del flujo d (Fig. 4), y F_en = 3; y

3. Inherentemente estable, con β = 1, para el cual el radio hidráulico R en la subsección superior [la subsección de desbordamiento] es constante e igual al de la subsección inferior (Fig. 5), y F_en = ∞.

Nuccitelli Fig. 3  Río Mississippi en Mud Island, Memphis, Tennessee.

Fig. 4   Sección transversal de un canal triangular.

Fig. 5   Sección transversal de un canal inherentemente estable (Ponce y Porras, 1995c).

Nótese que mientras para la fricción de Manning, el canal hidráulicamente ancho se vuelve inestable para F = 1.5, y el canal triangular para F = 3, el canal inherentemente estable se vuelve inestable para F ⇒ ∞.

La existencia de un límite inferior para la fricción impone un límite superior práctico al número de Froude. Para estimar este límite superior, invocamos la fórmula adimensional de Chezy (Ponce, 2014d):

So  =  f F 2

(11)

en la cual S_o = pendiente del canal, y f = factor de fricción adimensional, igual a 1/8 del factor de fricción de Darcy-Weisbach f_D. Suponga una pendiente muy empinada (digamos, 45°, es decir i.e., 100%), para la cual S_o  =  1; y el valor más bajo posible del factor de fricción, f = 0.001875, correspondiente a un Darcy-Weisbach f_D = 0.015. Esta suposición conduce a una estimación del valor máximo del número de Froude que se puede lograr en la práctica: F_max = 23 (Chow, 1959).

Se concluye que un canal inherentemente estable nunca alcanzará el número asintótico de Froude F_en = ∞ que lo caracteriza. Por lo tanto, la construcción de un canal inherentemente estable, para el cual β = 1, proporciona un factor de seguridad excesivamente alto contra las ondas de rollo. Esto sugiere la posibilidad de diseñar una sección transversal prácticamente estable, en la cual el riesgo de ondas de rollo sea tan pequeño como para no tener motivo de preocupación.

Suponga un valor máximo realista del número de Froude F_max = 25. Utilizando la Ecuación 8, en estabilidad neutral, V = 1, y, por lo tanto, β = 1.04. Se concluye que se puede diseñar un canal condicionalmente estable para que corresponda a β = 1.04, y que no parece haber necesidad de imponer el valor asintótico de β = 1 para lograr en la práctica una estabilidad hidrodinámica. Por lo tanto, un canal diseñado con β = 1.04 está debe estar preparado para proporcionar una completa ausencia de ondas de rollo (mientras el número de Froude no exceda el valor de diseño, 25).

3.  EL CANAL INHERENTEMENTE ESTABLE

Para derivar la ecuación del canal inherentemente estable, la relación general entre el perímetro mojado P y el área de flujo A se postula en la siguiente forma exponencial (Ponce y Porras, 1995d):

P  =  Κ A δ

(12)

a partir del cual:

A      dP              dP δ  =  ____  _____  =  R  _____                         P      dA              dA

(13)

Para el canal hidráulicamente ancho, el perímetro mojado P es una constante (Sección 2). Por lo tanto, de la Ec. 12: δ = 0, y el perímetro mojado sigue siendo:

P  =  Κo

[Hydraulically wide]

(14)

y:

dP                  ____  =  0  dA

(15)

Para el canal triangular, tanto el radio hidráulico R como el perímetro mojado P varían con el área de flujo, y el exponente δ tiene el valor central δ = 0.5. De la Ecuación 12, la relación entre el radio hidráulico R, el perímetro mojado P, y el área de flujo A es:

P  =  Κ A 0.5                [Triangular]

(16)

y:

dP                 P ____  =  0.5  _____  dA                 A

(17)

Para el canal inherentemente estable, el radio hidráulico R es una constante (Sección 2). Por lo tanto, de la Ecuación 12: δ = 1, y el perímetro mojado sigue siendo:
                       

P  =  Κo A                 [Inherently stable]

(18)

y:

dP          P        ____  =  _____  =  Κo  dA          A

(19)

Para el caso de la fricción de Manning, δ = 0 corresponde a β = 5/3, y δ = 1 corresponde a β = 1 (Section 2). Por lo tanto, se cumple la siguiente relación lineal:

5         2 β  =  ____  -  ____ δ           3         3

(20)

Multiplicando la Ecuación 20 por 3/2 y resolviendo para δ:

5          3 δ  =  ____  -  ____ β          2          2

(21)

Dado un valor elegido del número de Froude de estabilidad neutra F_en, la Ecuación 9 se puede utilizar para calcular β, y la Ecuación 21 para calcular δ. Además, suponga que el diseño de canal estable óptimo es el asociado con F_en = 25, para lo cual β_o = 1.04, y que el factor de seguridad para este caso se postula como F.S._i = 1. Para una elección dada i de F_en,i, un factor de seguridad se define como sigue:

βo F.S.i  =  ____               βi

(22)

La Tabla 1 muestra valores seleccionados de parámetros del canal estable, para valores adecuados de números de Froude neutralmente estables en el rango 10 ≤ F_en ≤ ∞. Concluimos que una elección de F_en = 20 tiene menos posibilidades de desarrollar ondas de rollo que una elección de F_en = 10. Además, una elección de F_en ≥ 25 podría garantizar en la práctica la ausencia de ondas de rollo.

4.  DISEÑO DE UN CANAL ESTABLE

Liggett (1975) derivó la ecuación diferencial del canal inherentemente estable, para el cual δ = 1. Ponce y Porras (1995d) extendieron esta ecuación al canal condicionalmente estable, para el cual δ < 1. La Tabla 1 muestra los valores de β y δ correspondiente a los valores seleccionados de F_en. El canal condicionalmente estable es, como su nombre lo indica, estable, es decir, V ≤ 1, siempre que el número de Froude esté restringido a F ≤ F_en, mientras que el radio hidráulico varía levemente con la profundidad del flujo.

Debido a la simetría, es apropiado un análisis de la mitad de la sección transversal. De aquí en adelante, el asterisco (* ) se usa como subíndice para referirse a los valores mitades de las variables hidráulicas, por ejemplo, T_*  = la mitad del ancho superior.

El perímetro mojado diferencial de la sección transversal estable es:

dP*  =  [ (dh) 2 + (dT* ) 2 ] 1/2

(23)

en la cual dh = profundidad diferencial de flujo. Dividiendo por dh, y dado que  dA_* = T_* dh  (Ponce, 2014):

dP*                      dT* T*  ______  =  [ 1  +  ( ______ ) 2 ] 1/2         dA*                      dh

(24)

Sustituyendo la Ecuación 13 en la Ec. 24:

δ T*                       dT*  ______  =  [ 1  +  ( ______ ) 2 ] 1/2     R                         dh

(25)

El canal inherentemente estable es aquél para el cual δ = 1; por lo tanto, el radio hidráulico es constante e igual a R_o, es decir, Κ_o en la Ec. 18. Operando en la Ecuación 25, se obtiene la ecuación diferencial del canal inherentemente estable:

dT*              T*  ______  =  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2     dh               Ro

(26)

sujeto a T_* > R_o .

La Ecuación 26 puede resolverse utilizando la siguiente integral indefinida (Spiegel et al., 2013):

dx                ∫  ______________  =  ln [ x + (x 2 - a 2) 1/2 ]      (x 2 - a 2) 1/2

(27)

en la cual x = T_* , y a = R_o .

El diseño de un canal estable requiere que el radio hidráulico se especifique al principio. Para lograr este requisito, la sección transversal debe estar compuesta por dos subsecciones:

1. Una subsección inferior, de forma rectangular, trapezoidal o triangular; y

2. Una subsección superior, de forma estable (ver, por ejemplo, la Fig. 5).

La subsección inferior (de la mitad del ancho del fondo B_* , profundidad h_o, pendiente lateral z : 1 (H:V) define el radio hidráulico R_o:

0.5 (2 B*  +   zho) ho  Ro  =  ________________________               B*  +  ho (1 + z 2)1/2

(28)

Además de definir R_o, la subsección inferior sirve para transportar los flujos bajos. En la práctica, los flujos de alta velocidad pueden ocurrir a profundidades de flujo relativamente pequeñas. Este hecho debe tenerse en cuenta en el diseño de la subsección inferior.

La Ecuación 26 constituye una familia de secciones transversales de canales inherentemente estables, con parámetro R_o. Una solución particular, en la cual T_*o  es la mitad del ancho superior correspondiente a la profundidad h_o, es:

T*                T*                                  ______  +  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2                                     Ro               Ro h  =  ho  + Ro  ln  { ___________________________________ }                                     T*o               T*o                                   ______  +  [ ( _____ ) 2   -  1 ] 1/2                                      Ro               Ro

(29)

Para el caso especial de T_*o = R_o, la Ec. 29 se reduce a la solución de Liggett (1975) para el canal inherentemente estable:

T*                 T*                                     h  =  ho  + Ro  ln  { ______  +  [ ( ______ ) 2   -  1 ] 1/2 }                                 Ro                Ro

(30)

Dado que la fricción de frontera tiene un límite inferior y no puede disminuir a cero de manera realista, se deduce que hay un límite superior para el número de Froude que se puede lograr en la práctica. En otras palabras, el canal intrínsecamente estable se volverá inestable conforme el número de Froude F ⇒ ∞, pero este último no se puede alcanzar en la práctica. Por lo tanto, no parece haber necesidad de diseñar una sección de canal estable con δ = 1.

Alternativamente, una sección de canal con un valor δ < 1 puede diseñarse para permanecer estable, siempre que no se exceda el número de Froude neutralmente estable asociado con este valor de δ. En la práctica, dado que no es probable que el número de Froude máximo exceda F = 25, se puede prever una sección de canal condicionalmente estable, para el cual δ = 0.94, Los valores de δ correspondientes a los valores seleccionados de F_en se muestran en la Tabla 1.

La extensión de la Ecuación. 26 al canal condicionalmente estable, para el cual δ < 1, es:

dT*              δT*  _____  =  [ ( ______ ) 2   -  1 ] 1/2     dh               R

(31)

sujeto a δT_* > R .

A diferencia de la Ecuación 26, la Ecuación 31 no puede ser integrada analíticamente. Sin embargo la forma de la subsección superior T_* = f (δ, R_o, R ) puede obtenerse por integración numérica, dado un valor de δ, correspondiente a una elección de F_en, y el radio hidráulico R_o correspondiente a la profundidad h_o de la subsección inferior.

La integración numérica procede seleccionando la forma de la subsección inferior (B_*, h_o, y z) y la profundidad total del canal h_t , para comprender las subsecciones inferior y superior. En la subsección inferior, la profundidad del flujo varía en el rango 0 ≤ h ≤ h_o; en la subsección superior, varía en el rango h_o < h ≤ h_t .

DATOS DE ENTRADA Ancho mitad de la subsección inferior B* Profundidad ho de la subsección inferior Pendiente lateral de la subsección inferior z Profundidad relativa de la subsección superior hu' = (ht - ho)/ho Pendiente del canal So n de Manning Número de Froude neutralmente estable Fen

El algoritmo computacional se basa en el siguiente procedimiento recursivo.

PROCEDIMIENTO RECURSIVO Con Fen , calcule β utilizando la Ecuación 8. Con β, calcule δ utilizando la Ecuación 20. Establecer el contador i = 0. Calcular el ancho superior mitad T*o  [at ho]: T*o = B* + zho Calcular el perímetro mojado mitad P*o: P*o = B* + ho (1 + z 2) 1/2 Calcular el área de flujo mitad A*o: A*o = 0.5 (2 B* + zho) ho Calcular el radio hidráulico Ro: Ro = A*o  / P*o Calcular la velocidad media Vo: Vo = (1/n)  Ro 2/3  So1/2 Calcular la profundidad hidráulica Do: Do = A*o  / T*o Calcular el número de Froude Fo: Fo = Vo  / (g Do )1/2 Calcular el caudal mitad Q*o: Q*o = Vo A*o Establecer el intervalo Δh = 0.0001 m ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇓ Incrementar el contador i en 1 Calcular la profundidad de flujo hi : hi = hi - 1 + Δh Utilizando la Ec. 29, calcular el incremento ΔT*i : ΔT*i = Δh [ (δ T*i - 1 / R*i - 1 ) 2 - 1 ] 1/2 Calcular el incremento ΔP*i : ΔP*i = [ (Δh)2 + (ΔT*i )2 ] 1/2 Calcular el incremento ΔA*i : ΔA*i = 0.5 ( 2T*i - 1 + ΔT*i ) Δh Calcular el valor de T*i  [a hi ]: T*i = T*i - 1 + ΔT*i Calcular el valor de P*i : P*i = P*i - 1 + ΔP*i Calcular el valor de A*i : A*i = A*i -1 + ΔA*i Calcular el valor de Ri : Ri = A*i  / P*i Calcular la velocidad media Vi : Vi = (1/n)  Ri 2/3  So1/2 Calcular la profundidad hidráulica Di  : Di = A*i  / T*i Calcular el número de Froude Fi : Fi = Vi  / (g Di )1/2 Calcular el caudal Q*i  correspondiente a la profundidad de flujo hi : Q*i = (1/n) A*i  R*i 2/3  So1/2 Regresar al paso 13 y proceda recursivamente hasta que hi ≥ ht . ⇑ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐

5.  CALCULADORA EN LÍNEA

La calculadora ONLINE INHERENTEMENTE ESTABLE resuelve el algoritmo recursivo explicado en el apartado anterior. Los datos de entrada a la calculadora consisten en:

• Datos geométricos e hidráulicos:   ancho mitad del fondo B_*, profundidad h_o, pendiente lateral z, profundidad relativa h_u', pendiente del canal S_o, y n de Manning ; y

• Número de Froude neutralmente estable F_en.

Para resolver el canal intrínsecamente estable, especifique un valor muy alto de número de Froude neutralmente estable, por ejemplo, F_en = 10,000. Para resolver el canal condicionalmente estable, especifique un valor alto realista del número de Froude neutralmente estable, por ejemplo F_en = 25 (Sección 2).

6.  ANÁLISIS

La Tabla 2 muestra un resumen de los resultados típicos de los cálculos del canal estable. El siguiente conjunto de datos se utilizó para el ejemplo que se muestra en la Tabla 2.

EJEMPLO DE DATOS DE ENTRADA Ancho mitad inferior B* = 2.5 m Profundidad ho = 1 m Pendiente lateral z = 0 Profundidad relativa hu' = 1 Pendiente del canal So = 0.012 n de Manning = 0.015 Número de Froude neutralmente estable:   Diez (10) valores, variando en el rango:  3 ≤ Fen ≤ 10,000.

Para una mayor precisión, el intervalo de profundidad se establece en Δh = 0.0001 m. En este ejemplo, los resultados del cálculo recursivo se imprimen una vez cada 1000 incrementos, es decir, el intervalo de profundidad para la salida es Δh_out = 0.1 m. Como era de esperar, la Tabla 2 muestra que el radio hidráulico para F_en = 10,000 permanece prácticamente constante e igual a R = 0.714 m en todo el rango indicado de profundidades de flujo en la subsección superior (1 ≤ h ≤ 2).

El examen de la Tabla 2, complementado con los resultados obtenidos utilizando ONLINE INHERENTLY STABLE lleva a las siguientes conclusiones:

1. Para h > h_o, cuanto menor sea la elección de F_en, menor será el ancho superior estable resultante.

2. Para h > h_o, cuanto mayor sea la elección de R_o, menor será el ancho superior estable resultante.

3. Dada F_en, cuanto mayor sea la elección de R_o, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

4. Dado R_o, cuanto menor sea la elección de F_en, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

Estos resultados confirman y amplían los hallazgos de Ponce y Porras (1995e).

Fig. 6  Secciones transversales estables en función del número de Froude F_en y el radio hidráulico R _o:
(a) h _o = 0.5 m, R _o = 0.417 m; (b) h _o = 0.75 m, R _o = 0.577 m; y (c) h _o = 1.0 m, R _o = 0.714 m
(regraficado por Ponce y Porras, 1995e).

Una comparación de los canales intrínsecamente estables o condicionalmente estables con un canal rectangular del mismo ancho de fondo, pendiente del canal y rugosidad del límite, muestra que para ambos canales es probable que el caudal y el número de Froude varíen gradualmente con la profundidad, con este último aumentando o disminuyendo, dependiendo de las condiciones de flujo. Sin embargo, la teoría predice que mientras el canal intrínsecamente estable siempre permanecerá estable, y el canal condicionalmente estable probablemente permanecerá estable en un rango práctico de números de Froude, el canal rectangular puede estar propicio para eventualmente desarrollar ondas pulsantes o de rollo.

7.  EJEMPLO DE DISEÑO

Diseñar un canal estable para los siguientes datos: caudal  base Q_b = 10 m³/s, caudal máximo Q_p = 100 m³/s, ancho de fondo mitad B_* = 2.5 m, pendiente lateral z = 0, pendiente del canal S_o = 0.012, y n de Manning = 0.015. Calcular la profundidad h_o y profundidad relativa h_u'.

Solución. Las corridas de prueba con la profundidad de la subsección inferior h_o = 0.8 m, y la relación entre las profundidades de la subsección superior a inferior h_u' = 2.0, muestran los siguientes resultados:

• Para el canal intrínsecamente estable, a F_en = 10,000:  Caudal de la subsección inferior Q_b = 10.46 m³/s, y caudal total, correspondiente a una profundidad total del canal h_t = h_o (h_u' + 1) = 2.4 m, es Q_p = 112.112 m³/s. El radio hidráulico sigue siendo R_o = 0.606 m a través del rango 0.8 ≤ h_t ≤ 2.4, y la mitad del ancho superior T_* en h_t = 2.4 m es: T_* = 34.468 m.

• Para el canal condicionalmente estable, a F_en = 25:  Q_b = 10.46 m³/s, y Q_p = 102.902 m³/s. A h_t = 2.4 m, el radio hidráulico es R = 0.692 m, del ancho superior mitad es: T_* = 25.169 m.

En este ejemplo, el diseño del ancho superior mitad del canal condicionalmente estable es igual al 73% del canal inherentemente estable, es decir, se observa una reducción del 27%.

8.  CONCLUSIONES

El canal intrínsecamente estable, y su alternativa el canal condicionalmente estable se revisan, aclaran y calculan en linea. El número de Froude asintótico neutralmente estable para el canal inherentemente estable es F_en ⇒ ∞. Teóricamente, dicho canal se volverá neutralmente estable cuando el número de Froude alcance el valor infinito. Dado que esté último es una imposibilidad física, este requisito garantiza efectivamente que el canal intrínsecamente estable siempre muy por debajo del umbral de inestabilidad, independientemente del caudal, eliminando así por completo la posibilidad de la formación de ondas de rollo.

El canal inherentemente estable nunca alcanzará el valor del número de Froude F_en = ∞ que lo caracteriza. Por lo tanto, la construcción de un canal intrínsecamente estable, es decir, aquél para el cual los exponentes β = 1 y δ = 1, proporciona un factor de seguridad poco realista contra las ondas de rollo. Esto sugiere la posibilidad de diseñar en cambio una forma de sección transversal condicionalmente estable, para un número de Froude suficientemente alto pero realista como F_en = 25, correspondiente a β = 1.04 y δ = 0.94, para el cual el riesgo de ondas de rollo sería tan pequeño como para no ser de interés práctico.

Los resultados de este estudio llevan a las siguientes conclusiones:

• Para h > h_o, cuanto menor sea la elección del número de Froude F_en, menor será el ancho superior estable resultante.

• Para h > h_o, cuanto mayor sea la elección del radio hidráulico R_o, menor será el ancho superior estable resultante.

• Dado F_en, cuanto mayor sea la elección de R_o, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

• Dado R_o, cuanto menor sea la elección de F_en, más estrecha será la sección del canal estable resultante.

Un ejemplo de diseño muestra que el canal condicionalmente estable con F_en = 25 es aproximadamente un 27% más estrecho que el canal inherentemente estable.

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