Ir a ⇒  Formato de lectura


[Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]   [Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]     

CAPÍTULO 7:
FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE VARIADO


7.1  ECUACIÓN DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

[Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]   [Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]      [Arriba]  

El flujo es gradualmente variado cuando la descarga Q es constante pero las demás variables hidráulicas (A, V, D, R, P, etc.) varían gradualmente en el espacio.

Las suposiciones básicas de flujo gradualmente variado son:

  1. El flujo es permanente, es decir, ninguna de las variables hidráulicas varían en el tiempo.

  2. Las líneas de corriente son esencialmente paralelas; por lo tanto, la distribución de presiones en la vertical es hidrostática, es decir, proporcional a la profundidad de flujo.

  3. La pérdida de carga es la misma que la que corresponde a un flujo uniforme; por lo tanto, la fórmula del flujo uniforme puede ser usada para evaluar la pendiente de la línea de energía.

  4. El valor de n de Manning es el mismo que para el flujo uniforme.

Otras suposiciones del flujo gradualmente variado son:

  1. La pendiente del canal es pequeña.

  2. El factor de corrección de presión cosθ ≅ 1.

  3. El atrapamiento de aire es insignificante.

  4. La conducción es una función exponencial de la profundidad de flujo (excepto para el caso de alcantarillas circulares).

  5. La rugosidad (n de Manning) es independiente de la profundidad de flujo (esto es solamente una aproximación) y es constante a lo largo del tramo.

Esquema de la energia en el flujo en canales abiertos.

Fig. 7-1  La energía en el flujo en canales.

En el flujo gradualmente variado, el gradiente de la carga hidráulica es (Fig. 7-1):

  dH         d                      V 2
_____  =  ___ ( z  +  y  +  _____ )  =  - Sf
  dx         dx                      2g
(7-1)

El signo negativo para la pendiente de fricción Sf es necesario ya que la dirección de flujo es de izquierda a derecha, mientras que por costumbre, la derivada se toma de derecha a izquierda.

La pendiente de fricción es:

            hf                   
Sf  =  _____
           ΔL                  
(7-2)

en la cual ΔL = longitud del tramo del canal.

El gradiente de la energía específica es:

  dE         d               V 2             dz
_____  =  ___ ( y  +  _____ )  =  - ____  -  Sf
  dx         dx              2g              dx
(7-3)

El gradiente del lecho del canal, o la pendiente del fondo, es:

  dz          z2 - z1                    
_____  =  ________
  dx             ΔL                   
(7-4)

      dz          z1 - z2                    
 -  _____  =  ________  =  So
      dx             ΔL                   
(7-5)

Entonces, el gradiente de la energía específica es:

  dE         d               V 2              
_____  =  ___ ( y  +  _____ )  =  So  -  Sf
  dx         dx              2g              
(7-6)

En el flujo permanente: Q = V A = constante.

Por lo tanto:

  d                 Q 2              
____ ( y  +  _______ )  =  So  -  Sf
 dx              2g A2              
(7-7)

  dy           d           Q 2              
_____  +  _____   ( _______ )  =  So  -  Sf
  dx           dx        2g A2              
(7-8)

  dy            Q 2       dA         
_____  -  ( ______ ) _____  =  So  -  Sf
  dx           g A3       dx        
(7-9)

  dy            Q 2       dA     dy         
_____  -  ( ______ ) _____ _____   =  So  -  Sf
  dx           g A3       dy     dx        
(7-10)

Usando la Ecuación 3-11:

  dy            Q 2 T       dy         
_____  -  ( ________ ) _____   =  So  -  Sf
  dx             g A3        dx        
(7-11)

Entonces, el gradiente de la profundidad es:

  dy                    So  -  Sf              
_____  =  _______________________
  dx          1  -  [(Q 2 T ) / (g A3)]             
(7-12)

La pendiente de fricción basada en la ecuación de Chezy (Ecs. 5-10 y 2-4) es:

                 Q 2               
Sf  =  ____________
           C 2 A2 R             
(7-13)

Debido a que R = A / P :

            Q 2 P               
Sf  =  _________
           C 2 A3              
(7-14)

Sustituyendo la Ec. 7-14 en la Ec. 7-12, el gradiente de la profundidad es:

  dy           So  -  [(Q 2 P ) / (C 2 A3)]              
_____  =  ___________________________
  dx              1  -  [(Q 2 T ) / (g A3)]             
(7-15)

  dy           So  -  (g/C 2) (P / T ) [(Q 2 T ) / (g A3)]              
_____  =  _______________________________________
  dx                       1  -  [(Q 2 T ) / (g A3)]             
(7-16)

El cuadrado del número de Froude es (Ec. 3-12):

              Q 2 T               
F 2  =  _________
               g A3             
(7-17)

Substituyendo la Ec. 7-17 en la Ec. 7-16:

  dy           So  -  (g/C 2) (P / T ) F 2              
_____  =  _________________________
  dx                       1  -  F 2             
(7-18)

Sustituyendo la Ec. 5-12 en la Ec. 7-18:

  dy           So  -  f (P / T ) F 2              
_____  =  _____________________
  dx                    1  -  F 2             
(7-19)

Por lo tanto, el gradiente de la profundidad (dy/dx) es una función de:

  1. La pendiente del canal So,

  2. El coeficiente de fricción f,

  3. La relación perímetro mojado-ancho de superficie P / T, y

  4. El número de Froude.

Para dy/dx = 0, la Ec. 7-19 se reduce a la ecuación de flujo uniforme:

                            
So  =  f (P / T ) F 2
                                   
(7-20)

Para F = 1, la Ec. 7-20 se reduce al flujo uniforme crítico:

                            
So  =  f (Pc / Tc )  =  Sc
                                   
(7-21)

en la cual Sc = pendiente crítica, es decir, la pendiente del canal para la cual el flujo es crítico.

En términos de la pendiente crítica, el gradiente de la profundidad es (Ec. 7.21):

  dy           So  -  (P / T ) (Tc / Pc ) Sc F 2              
_____  =  ________________________________
  dx                            1  -  F 2             
(7-22)

Para (P / T ) ≅ (Pc / Tc ), es decir, para una relación constante (P / T), la Ec. 7-22 se reduce a:

  dy           So  -  Sc F 2              
_____  =  _______________
  dx               1  -  F 2             
(7-23)

El gradiente de la profundidad se puede escribir como sigue:

            dy                         
Sy  =  _____
            dx                           
(7-24)

Sustituyendo la Ec. 7-24 en la Ec. 7-23, resulta en:

 Sy           (So / Sc)  -  F 2      
____  =  __________________
 Sc                  1  -  F 2
(7-25)

La Ecuación 7-25 (o la Ec. 7-23) es la ecuación de flujo permanente gradualmente variado (Fig. 7-2).

El gradiente de profundidad Sy es solamente una función de:

  1. La pendiente del canal So,

  2. La pendiente crítica Sc, y

  3. El número de Froude F.

Flujo estable gradualmente variado.

Fig. 7-2   Ilustración del flujo permanente gradualmente variado.

Nota sobre el uso de la Ec. 7-25


La Ecuación 7-25 es aplicable únicamente en el caso (P/T) (Tc/Pc) = 1, que es el mismo que (P/T) = (Pc/Tc ); es decir, para una relación constante (P/T), independientemente de la profundidad de flujo.

Esta condición es menos estricta que la condición (asintótica) del canal hidráulicamente ancho, para el cual (P/T) = 1.

Por lo tanto, para un canal hidráulicamente ancho, donde PT, se deduce que: (P/T) (Tc/Pc) ≅ 1.

Por lo cual la Ec. 7-25 es aplicable a canales hidráulicamente anchos.



7.2  CARACTERÍSTICAS DE LOS PERFILES

[Límites de los Perfiles]   [Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]      [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]  

En la Ecuación 7-25, el signo del lado izquierdo (SLI) es el de Sy (numerador), ya que Sc (denominador) es siempre positivo (la fricción es siempre positiva).

El signo de Sy (es decir, el signo de la SLI) puede ser una de tres posibilidades:

  • Un valor positivo, que lleva a un FLUJO RETARDADO (REMANSO),

  • Un valor cero, que lleva a un FLUJO UNIFORME (NORMAL), o

  • Un valor negativo, que lleva a un FLUJO ACELERADO (ABATIMIENTO).

En el lado derecho de la Ec. 7-25, hay tres posibilidades para el numerador (USDA Soil Conservation Service, 1971):

  • So / Sc > F 2, lo cual lleva al FLUJO SUBNORMAL,

  • So / Sc = F 2, lo cual lleva al FLUJO NORMAL, o

  • So / Sc < F 2, lo cual lleva al FLUJO SUPERNORMAL.

Hay tres posibilidades para el denominador:

  • 1 > F 2, lo cual lleva al FLUJO SUBCRÍTICO,

  • 1 = F 2, lo cual lleva al FLUJO CRÍTICO, o

  • 1 < F 2, lo cual lleva al FLUJO SUPERCRÍTICO.

Dadas las desigualdades anteriores, surgen tres tipos (o familias) de perfiles de superficie del agua, las cuales se muestran en la Tabla 7-1.

El número total de perfiles es 12. La Tabla 7-2 muestra un resumen de los perfiles.

Tabla 7-1  Tipos de perfiles de superficie del agua.
Tipo Descripción Numerador y denominador del lado derecho
de la Ec. 7-25
SLIPerfil
del flujo
I Flujo subnormal/subcrítico Ambos numerador y denominador son positivos + Retardado
IIA Flujo subnormal/supercrítico Numerador positivo y denominador negativo - Acelerado
BFlujo supernormal/subcríticoNumerador negativo y denominador positivo - Acelerado
IIIFlujo supernormal/supercrítico Ambos numerador y denominador son negativos + Retardado


Tabla 7-2  Resumen de los perfiles de superficie del agua.
Familia Estado Regla So > Sc So = Sc So < Sc So = 0 So < 0
I Retardado
(Remanso)
1 > F 2 < (So / Sc) S1 C1 M1 - -
IIA Acelerado
(Abatimiento)
1 < F 2 < (So / Sc) S2 - - - -
B Acelerado
(Abatimiento)
1 > F 2 > (So / Sc) - - M2 H2 A2
III Retardado
(Remanso)
1 < F 2 > (So / Sc) S3 C3 M3 H3 A3


Tipo I

En la familia Tipo I, el flujo es subnormal/subcrítico.

Por lo tanto, la regla es:

                            
1  >  F 2  <  (So / Sc )
                                   
(7-26)

la cual es lo mismo que:

                            
(So / Sc )  > <  1
                                   
(7-27)

La ecuación 7-27 establece que So puede ser menor que, igual a, o mayor que Sc .

Esto da lugar a tres tipos de perfiles:


  • M1:  So < Sc

    Esquema del perfil de la superficie del agua M<sub>1</sub>.

    Fig. 7-3  Perfil M1 de la superficie del agua .

    El gradiente de profundidad Sy varía de asintótico a So (es decir, asintótico a la horizontal) en el extremo aguas abajo, a asintótico a cero (es decir, asintótico a la profundidad normal) en el extremo aguas arriba.


  • C1:  So = Sc

    Esquema para el perfil de la superficie del agua C<sub>1</sub>

    Fig. 7-4  Perfil C1 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de Sc en el extremo aguas abajo, a Sc en el extremo aguas arriba, es decir, el perfil de la superficie del agua es una línea horizontal.


  • S1:  So > Sc

    Esquema para el perfil de la superficie del agua S<sub>1</sub>

    Fig. 7-5  Perfil S1 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de asintótico a So (es decir, asintótico a la horizontal) en el extremo aguas abajo, a asintótico a + ∞ (es decir, asintótico al salto hidráulico) en el extremo aguas arriba.


Dado que
                            
(So / Sc )  >  F 2
                                   
(7-28)

y

                            
F 2  >  0
                                   
(7-29)

por lo tanto
                            
(So / Sc )  >  0
                                   
(7-30)

Así:
                            
So  >  0
                                   
(7-31)

Quiere decir que en la familia de perfiles de superficie del agua Tipo I, no son posibles los perfiles horizontales (H) ni adversos (A).




Tipo II A

En la familia Tipo II A, el flujo es subnormal/ supercrítico.

Por lo tanto, la regla es:

                            
1  <  F 2  <  (So / Sc )
                                   
(7-32)

lo cual es lo mismo que:

                            
(So / Sc )  >  1
                                   
(7-33)

La Ecuación 7-33 establece que So solamente puede ser mayor que Sc, lo cual da lugar a un solo perfil:


  • S2:  So > Sc

    Esquema para el perfil de superficie del agua S<sub>2</sub>.

    Fig. 7-6  Perfil S2 de la superficie del agua .

    El gradiente de profundidad Sy varía de - ∞ (es decir, asintótico a un cambio repentino de pendiente de fondo) en el extremo aguas arriba, a asintótico a cero (es decir, asintótica a la profundidad normal) en el extremo aguas abajo.


Dado que:
                            
(So / Sc )  >  F 2
                                   
(7-34)

y

                            
F 2  >  0
                                   
(7-35)

Por lo tanto:

                            
(So / Sc )  >  0
                                   
(7-36)

Así:
                            
So  >  0
                                   
(7-37)

Quiere decir que en la familia de perfiles de superficie del agua Tipo II, no son posibles los perfiles horizontales (H) ni los adversos (A).



Tipo II B

En la familia Tipo II B, el flujo es supernormal / subcrítico.

Por lo tanto, la regla es:

                            
1  >  F 2  >  (So / Sc )
                                   
(7-38)

la cual es lo mismo que:

                            
(So / Sc )  <  1
                                   
(7-39)

La ecuación 7-39 establece que So puede ser menor que Sc, igual a 0, o menor que 0.

Esto da lugar a tres tipos de perfiles:


  • M2:  0 <  So < Sc

    Esquema para el perfil de la superficie del agua M<sub>2</sub>

    Fig. 7-7  Perfil M2 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de - ∞ (es decir, cambio repentino en la pendiente de fondo) en el extremo aguas abajo, a asintótica a cero (es decir, asintótica a la profundidad normal) en el extremo aguas arriba.


  • H2: 0 =  So < Sc

    Esquema para el perfil de la superficie del agua H<sub>2</sub>

    Fig. 7-8  Perfil H2 de la superficie del agua .

    El gradiente de profundidad Sy varía de - ∞ (es decir, cambio repentino de pendiente) en el extremo aguas abajo a asintótico a 0 en el extremo aguas arriba (cabecera).


  • A2:  So < 0 < Sc

    Esquema para el perfil de la superficie del agua A<sub>2</sub>

    Fig. 7-9  Perfil A2 de la superficie del agua .

    El gradiente de profundidad Sy varía de - ∞ (es decir, cambio repentino de pendiente) en el extremo aguas abajo, a asintótico a < 0 (hacia la cabecera) en el extremo aguas arriba.



Tipo III

En la familia Tipo III, el flujo es supernormal / supercrítico.

Por lo tanto, la regla es:

                            
1  <  F 2  >  (So / Sc )
                                   
(7-44)

la cual es lo mismo que:

                            
(So / Sc )  > <  1
                                   
(7-45)

La ecuación 7-45 establece que So puede ser menor que, igual a, o mayor que Sc.

Esto da lugar a cinco tipos de perfiles:


  • S3:  So > Sc

    Esquema del perfil de la superficie del agua S<sub>3</sub>

    Fig. 7-10  Perfil S3 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de asintótico a Sc en el extremo aguas arriba, a asintótico a cero (es decir, asintótico a la profundidad normal) en el extremo aguas abajo.


  • C3:  So = Sc

    Esquema del perfil de la superficie del agua C<sub>3</sub>

    Fig. 7-11  Perfil C3 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de Sc en el extremo de aguas abajo, a Sc en el extremo de aguas arriba, es decir, el perfil de la superficie del agua es una línea horizontal.


  • M3:  0 <  So < Sc

    Esquema del perfil de la superficie del agua M<sub>3</sub>

    Fig. 7-12  Perfil M3 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de asintótico a Sc en el extremo aguas arriba, a asintótico a + ∞ (es decir, asintótico al salto hidráulico) en el extremo aguas abajo.


  • H3:  0 =  So < Sc

    Esquema del perfil de la superficie del agua H<sub>3</sub>

    Fig. 7-13  Perfil H3 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de asintótico a Sc en el extremo aguas arriba, a asintótico + ∞ (es decir, asintótico al salto hidráulico) en el extremo aguas abajo.


  • A3:  So = Sc

    Esquema del perfil de la superficie del agua A<sub>3</sub>

    Fig. 7-14  Perfil A3 de la superficie del agua.

    El gradiente de profundidad Sy varía de asintótico a Sc en el extremo aguas arriba, a asintótico a + ∞ (es decir, asintótico al salto hidráulico) en el extremo aguas abajo.



La Figura 7-15 muestra una representación gráfica de los gradientes de profundidad en los cálculos de perfiles.

Las flechas indican la dirección de cálculo.

Representación gráfica de los rangos del gradiente de la
profundidad del flujo <br>en los cálculos del perfil de la
superficie del agua.

Fig. 7-15  Representación gráfica de los rangos del gradiente de profundidad
en los cálculos de perfiles.


7.3  LÍMITES DE LOS PERFILES

[Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]      [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]  

Los gradientes de profundidad pueden tener cinco (5) límites (Fig. 7-15):

  1. La pendiente del canal So

  2. La pendiente crítica Sc

  3. Cero.

  4. + ∞

  5. - ∞

Los límites teóricos para los perfiles de la superficie pueden ser analizados usando la Ec. 7-25, la cual se repite aquí con una pequeña variación:

             So  -  Sc F 2      
Sy  =  ______________
               1  -  F 2
(7-46)

De la Ec. 7-46:

                   
Sy (1  -  F 2)  =  So  -  Sc F 2
               
(7-47)

             So  -  Sy      
F 2  =  ____________
             Sc  -  Sy
(7-48)

Para el flujo uniforme (normal) Sy  =  0, y la Ec. 7-48 se reduce a:
                   
So  =  Sc F 2
               
(7-49)

Para el flujo gradualmente variado: Sy  ≠  0, y la Ec. 7-48 está sujeto a tres (3) casos:

  • PRIMERO

    F 2 > 0

    • So > Sy  y  Sc > Sy

      Se cumple la siguiente desigualdad:  So > Sy < Sc

    • So < Sy  y  Sc < Sy

      Se cumple la siguiente desigualdad:  So < Sy > Sc

    • Se concluye que Sy tiene que ser ya sea menor que ambos So y Sc, o mayor que ambos.

  • SEGUNDO

    F 2 = 0

    Esto lleva a  So = Sy

                z1 - z2      
    So  =  _________
                    L
    (7-51)

                y2 - y1      
    Sy  =  _________
                    L
    (7-52)

    Combinando las Ecs. 7-51 y 7-52:

                      
    z1 + y1  =  z2 + y2
                    
    (7-53)

    La Ecuación 7-53 representa un reservorio o embalse (Fig. 7-15).

    Condición de un verdadero reservorio.

    Fig. 7-16  Condición hidráulica de un reservorio o embalse.

  • TERCERO

    F 2 < 0:   Dado que F ≥ 0, esta condición es imposible.

    La siguiente desigualdad NO se cumple:  So > Sy > Sc

    La siguiente desigualdad NO se cumple:   So < Sy < Sc

    Se concluye que Sy no puede ser menor que So y mayor que Sc , o menor que Sc y mayor que So .

    Así, Sy tiene que ser menor que ambos So y Sc, o mayor que ambos (Ver Caso 1).


Uso de los perfiles de remanso

La Tabla 7-3 y la Fig. 7-17 muestran perfiles típicos de remanso y abatimiento en canales de pendiente leve o moderada.

Tabla 7-3  Perfiles típicos de remanso y abatimiento en canales de pendiente leve (moderada).
M1 Flujo en un canal de pendiente leve (o moderada), aguas arriba de un reservorio.
M2 Flujo en un canal de pendiente leve (o moderada), aguas arriba de un cambio brusco de nivel o de un canal de pendiente pronunciada con flujo supercrítico.
M3 Flujo en un canal de pendiente leve (o moderada), aguas abajo de un canal de pendiente pronunciada con flujo supercrítico.

Ocurrencia típica de perfiles moderados.

Fig. 7-17  Ejemplos típicos de perfiles leves o moderados.

La Tabla 7-4 y la Fig. 7-18 muestran perfiles típicos de remanso y abatimiento en canales de pendiente empinada (o pronunciada).

Tabla 7-4  Perfiles típicos de remanso y abatimiento en canales de pendiente empinada (o pronunciada).
S1 Flujo en un canal de pendiente empinada (o pronunciada), aguas arriba de un reservorio.
S2 Flujo en un canal de pendiente empinada (o pronunciada), aguas abajo de un canal leve o moderado con flujo subcrítico.
S3 Flujo en un canal de pendiente empinada (o pronunciada), aguas abajo de un canal más pronunciado con flujo supercrítico.

Ocurrencia típica de perfiles pronunciados.

Fig. 7-18  Ejemplos típicos de perfiles empinados o pronunciados.


7.4  METODOLOGÍAS

[Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]      [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]  

Existen dos formas de calcular los perfiles de la superficie de agua:

  1. El método directo.

  2. El método estándar.

El método directo es aplicable a canales prismáticos, mientras que el método estándar es aplicable a cualquier canal, prismático o no prismático (Tabla 7-5).

Como su nombre lo indica, el método directo es directo y se puede usar fácilmente con una hoja de cálculo; además su solución es relativamente sencilla.

El método estándar es iterativo y de solución más compleja.

En la práctica, el método estándar está representado por el Hydrologic Engineering Center River Analysis System, conocido como HEC-RAS (U.S. Army Corps of Engineers, 2014).

El método directo se aplica particularmente cuando los datos son escasos y los recursos limitados.

Por otro lado, el método estándar se aplica a los proyectos más detallados.

El uso de un programa ampliamente aceptado como el HEC-RAS aumenta la credibilidad del método estándar.

En el método estándar, el número necesario de secciones transversales varía de acuerdo a la pendiente del canal.

Los canales más pronunciados pueden requerir más secciones transversales.

Una menor variabilidad en las secciones transversales da resultados más confiables.

Cabe notar que las características bidimensionales o tridimensionales del flujo no se pueden representar con precisión con el modelo unidimensional HEC-RAS.

La Tabla 7-5 muestra una comparación de los métodos directo y estándar.

Tabla 7-5  Comparación de los métodos directo y estándar.
No.CaracterísticaMétodo directo Método estándar
1 Forma de la sección transversalPrismática Cualquiera (prismática o no prismática)
2 Facilidad de cálculoFácil (horas) Difícil (días)
3El cálculo avanza ⇒ Directamente Por iteración (prueba y error)
4 Tipo de la sección transversalUna sección transversal típica (prismática) Varias secciones transversales (no prismáticas)
5 Requerimiento de datosMínimo Extenso
6La precisión aumenta con ⇒Un incremento pequeño de la profundidad de flujo Un mayor número de secciones transversales y/o menor variabilidad de la sección transversal
7 Variable independienteProfundidad de flujo Longitud del canal
8 Variable dependienteLongitud del canal Profundidad de flujo
9 Herramientas de cálculoHoja de cálculo o programación HEC-RAS
10ConfiabilidadEl resultado siempre es posible El resultado a veces no es posible, dependiendo del tipo de sección transversal
11CostoComparativamente pequeño Comparativamente grande
12Aceptación públicaMedia Alta


7.5  EJEMPLO DEL MÉTODO DIRECTO

[Preguntas]   [Problemas]   [Bibliografía]      [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]   [Metodologías]  

Cálculo de los perfiles M2 y S2, aguas arriba y aguas abajo de un cambio de pendiente, de moderada a pronunciada

Definition sketch for M<sub>2</sub> water-surface profile
Definition sketch for S<sub>2</sub> water-surface profile

Datos de entrada:

  • Descarga Q = 2000 m3

  • Ancho de fondo b = 100 m.

  • Talud 2 H : 1 V

  • Pendiente del canal aguas arriba = 0.0001

  • n de Manning del canal aguas arriba = 0.025

  • Pendiente del canal aguas abajo = 0.03

  • n de Manning del canal aguas abajo = 0.045

Solución

Calcular la profundidad y velocidad normal, y la profundidad y velocidad crítica, en los canales aguas arriba y aguas abajo.

Utilizar CANAL EN LÍNEA 05.

Para el canal aguas arriba:

  • Profundidad normal = 10.098 m

  • Velocidad normal = 1.648 m/s

  • Número de Froude normal = 0.179

  • Profundidad crítica = 3.364 m

  • Velocidad crítica = 5.571 m/s

    Para el canal aguas abajo:

  • Profundidad normal = 2.669 m

  • Velocidad normal = 7.113 m/s

  • Número de Froude normal = 1.425

  • Profundidad crítica = 3.364 m

  • Velocidad crítica = 5.571 m/s

    Cálculo de la pendiente crítica para el canal aguas arriba:

  • yc = 3.364 m

  • Vc = 5.571 m/s

  • Ac = (b + zyc ) yc = 359.033 m2

  • P = b + 2 yc (1 + z 2)1/2 = 115.044 m

  • Rc = Ac / Pc = 3.121 m

  • Sc = n 2 Vc2 / Rc4/3 = (0.025)2 (5.571)2 (3.121)4/3 = 0.00425

  • Verificar la pendiente crítica con CANAL EN LÍNEA 04:  Sc = 0.004254.

    Cálculo de la pendiente crítica para el canal aguas abajo:

  • Sc = n 2 Vc2 / Rc4/3 = (0.045)2 (5.571)2 (3.121)4/3 = 0.0138

    Verificar la pendiente crítica con CANAL EN LÍNEA 04:  Sc = 0.01378.

    El cálculo del perfil M2 se muestra en la Tabla 7-6.

    Se detalla lo siguiente:

  • El cálculo procede en la dirección aguas arriba, a partir de la profundidad crítica en el extremo de aguas abajo.

  • Columna [1]:   La segunda profundidad se establece en 4 m; para las siguientes profundidades el intervalo se toma en 1 m.

  • Columna [2]:  El área de flujo:  A = (b + zy ) y                     . . . (1)

  • Columna [3]:  La velocidad media:  V = Q / A                     . . . (2)

  • Columna [4]:  La carga de velocidad:  V 2 / (2g)                     . . . (3)

  • Columna [5]:  La carga específica:  H = y + V 2 / (2g)                     . . . (4)

  • Columna [6]:  El perímetro mojado:  P = b + 2 y (1 + z 2)1/2                     . . . (5)

  • Columna [7]:  El radio hidráulico:  R = A / P                     . . . (6)

  • Columna [8]:  La pendiente de fricción:  Sf = n 2 V 2 / R 4/3                     . . . (7)

  • Columna [9]:  La pendiente de fricción promedio:  Sf ave = 0.5 (Sf 1 + Sf 2)                     . . . (8)

  • Columna [10]:  La diferencia de carga específica:  ΔH = H2 - H1                     . . . (9)

  • Columna [11]:   El incremento de longitud del canal ΔL, el cual se explica en el recuadro de abajo.

  • Columna [12]:  La longitud acumulada, es decir, la suma acumulada de ΔL.

    Derivación de la fórmula para el incremento de longitud del canal ΔL


    Con referencia a la Fig. 7-19, la pendiente de fricción media es:

                      hf      
    Sf ave  =  ______
                      ΔL
    (7-54)

    Esquema del 
cálculo del incremento de longitud del canal

    Fig. 7-19  Ilustración del cálculo del incremento de longitud del canal ΔL.

                      
    H1 + z1  =  H2 + z2  +  Sf ave ΔL
                    
    (7-55)

                      
    z1 - z2  =  H2 - H1  +  Sf ave ΔL
                    
    (7-56)

                      
    z1 - z2  -  Sf ave ΔL  =  H2 - H1
                    
    (7-57)

                z1 - z2      
    So  =  _________
                   ΔL
    (7-58)

                      
    So ΔL  -  Sf ave ΔL  =  H2 - H1
                    
    (7-59)

                      
    (So  -  Sf ave) ΔL  =  H2 - H1
                    
    (7-60)

                     H2 - H1      
    ΔL  =  ______________
                 So  -  Sf ave
    (7-61)

                        ΔH      
    ΔL  =  ______________
                 So  -  Sf ave
    (7-62)

    La ecuación 7-62 permite el cálculo del incremento de longitud del canal ΔL, es decir, la Col. 11 de la Tabla 7-6.

    Cuando ΔL es negativa, el cálculo procede aguas arriba, como en el perfil M2 (Tabla 7-6).

    Contrariamente, cuando ΔL es positivo, el cálculo procede aguas abajo, como en el perfil S2 (Tabla 7-7).



    Tabla 7-6   Cálculo del perfil M2 de la superficie del agua (So = 0.0001).
    [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
    y A V V 2/(2g ) H P R Sf Sf ave ΔH ΔL ∑ ΔL
      (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Recuadro  
    3.364 359.033 5.570 1.581 4.945 115.044 3.1208 0.00425 --- --- --- 0
    4.000 432.000 4.630 1.092 5.092 117.888 3.664 0.00237 0.00331 0.147 -45.794 -45.794
    5.000 550.000 3.636 0.674 5.674 122.360 4.495 0.00111 0.00174 0.528 -354.878 -400.672
    6.000 672.000 2.976 0.451 6.451 126.833 5.298 0.00060 0.000855 0.777 -1029.139 -1429.811
    7.000
    8.000
    9.000
    10.000
    10.097 0.0001

    En el método directo, la exactitud del cálculo depende del tamaño del intervalo de profundidad (Col. [1] de la Tabla 7-6).

    Cuanto menor sea el intervalo, más preciso será el cálculo.

    Esto de debe a que el promedio de la pendiente de fricción para un subtramo (Col. [9]) es la media aritmética de las pendientes de fricción en los dos puntos adyacentes.

    En la práctica, el cálculo utilizando una computadora usaría un intervalo más preciso que el que se muestra en la Tabla 7-6.

    El cálculo del perfil de la superficie del agua S2 se muestra en la Tabla 7-7.

    Tabla 7-7   Cálculo del perfil de la superficie del agua S2 (So = 0.03).
    [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
    y A V V 2/(2g ) H P R Sf Sf ave ΔH ΔL ∑ ΔL
      (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Recuadro  
    3.364 359.033 5.570 1.581 4.945 115.044 3.1208 0.00425 --- --- --- 0
    3.300 351.780 5.685 1.647 4.9475 114.758 3.0654 0.0147 0.01425 0.002 0.127 0.127
    3.200 340.48 5.874 1.759 4.9586 114.311 2.979 0.0163 0.0155 0.0111 0.765 0.892
    3.100 329.22 6.075 1.881 4.981 113.864 2.891 0.0181 0.0172 0.0224 1.750 2.642
    3.000
    2.900
    2.800
    2.700
    2.669 0.03

    Cálculos en línea

    Los perfiles M2 se pueden calcular en línea usando ONLINE_WSPROFILES_22 (Fig. 7-20).

    Usando el número de intervalos computacionales n = 100, y el número de intervalos tabulares de salida m = 100, la longitud del perfil M2 es:   ∑ ΔL = 147,691.5 m.

    Esquema del perfil de la superficie del agua M<sub>2</sub>

    Fig. 7-20  Perfil M2 de la superficie del agua.

    El perfil S2 se puede calcular en línea usando ONLINE_WSPROFILES_25 (Fig. 7-21).

    Usando el número de intervalos computacionales n = 100, y el número de intervalos tabulares de salida m = 100, la longitud del perfil S2 es:   ∑ ΔL = 152.02 m.

    Esquema del perfil de la superficie del agua  S<sub>2</sub>.

    Fig. 7-21  Perfil S2 de la superficie del agua.


    PREGUNTAS

    [Problemas]   [Bibliografía]      [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]   [Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]  

    1. ¿Cómo se define el flujo permanente gradualmente variado?

    2. ¿Cómo se define el flujo retardado?

    3. ¿Cómo se define el flujo acelerado?

    4. ¿Cómo se define el flujo subnormal?

    5. ¿Cómo se define el flujo supernormal?

    6. ¿Cuántos perfiles existen en el flujo permanente gradualmente variado?

    7. ¿Cuál es la regla para la familia Tipo I de los perfiles de la superficie del agua?

    8. ¿Cuál es la regla para la familia Tipo III de los perfiles de la superficie del agua?

    9. ¿Cuáles perfiles de la superficie del agua son totalmente horizontales?

    10. ¿Cuáles son los cinco límites a los cuales tienden los perfiles?

    11. ¿Cuál es la aplicación típica del perfil M1?

    12. ¿Cuál es la aplicación típica del perfil S1?

    13. ¿Cuál es la aplicación típica del perfil S3?

    14. ¿Cuál es la diferencia principal entre los métodos directo y estándar para el cálculo de los perfiles de la superficie del agua?


    PROBLEMAS

    [Bibliografía]      [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]   [Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]  

    1. Un río tiene las siguientes propiedades:   descarga Q = 30 m3/s, ancho de fondo b = 55 m, talud z = 2, pendiente de fondo So = 0.0004, y n de Manning = 0.035. Se propone construir una presa de derivación de 2 metros de altura sobre el río para elevar la carga para un canal de riego (Fig. 7-22).

      • Calcular la profundidad normal.

      • Calcular la longitud total del perfil de la superficie del agua M1. Usar n = 400 y m = 400.

      • Calcular la longitud parcial del perfil M1, desde la presa hasta una ubicación aguas arriba donde la profundidad normal sea excedida en 1%.

      Usar CANAL EN LÍNEA 01 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 21.

      Una presa de derivación.

      Fig. 7-22  Una presa de derivación.

    2. Un río tiene las siguientes propiedades:  descarga Q = 1000 pies3/s, ancho del fondo b = 150 pies, talud z = 2, pendiente de fondo So = 0.00038, y n de Manning = 0.035. Se proyecta una presa de derivación de 6 pies de altura, para elevar la carga para un canal de riego.

      • Calcular la profundidad normal.

      • Calcular la longitud total del perfil de la superficie del agua M1. Usar n = 400 y m = 400.

      • Calcular la longitud parcial del perfil M1, desde la presa hasta una ubicación aguas arriba donde la profundidad normal sea excedida en 1%.

      Usar CANAL EN LÍNEA 01 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 21.

    3. Un río de pendiente moderada fluye hacia un río de pendiente pronunciada, produciendo un perfil M2 aguas arriba del borde. Las condiciones hidráulicas en el canal son:   Q = 28 m3/s, ancho de fondo b = 12 m, talud z = 2.5, pendiente del fondo So = 0.0007, y n de Manning = 0.04. Asumir la profundidad crítica cerca del cambio de pendiente.

      • Calcular las profundidades crítica y normal.

      • Calcular la longitud M2 del perfil de la superficie del agua usando n = 100 y m = 100.

      • Calcular la longitud M2 del perfil de la superficie del agua usando n = 200 y m = 200.

      • Calcular la longitud M2 del perfil de la superficie del agua usando n = 400 y m = 400.

      • Comentar los resultados de los incisos b, c, y d.

      • Determinar la longitud de diseño del canal a 99% de la profundidad normal. Usar n = 400.

        Usar CANAL EN LÍNEA 05 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 22.

    4. Un río de pendiente moderada fluye hacia un río de pendiente pronunciada, produciendo un perfil M2 aguas arriba del borde. Las condiciones hidráulicas en el canal son:  Q = 500 pies3/s, ancho del fondo b = 30 pies, pendiente lateral z = 1.5, pendiente del fondo So = 0.00075, y n de Manning = 0.04. Asumir la profundidad crítica cerca al cambio en la pendiente.

      • Calcular las profundidades crítica y normal.

      • Calcular la longitud del perfil de la superficie del agua M2 usando n = 100 y m = 100.

      • Calcular la longitud del perfil de la superficie del agua M2 usando n = 200 y m = 200.

      • Calcular la longitud del perfil de la superficie del agua M2 usando n = 400 y m = 400.

      • Comentar sobre los resultados de b, c, y d.

      • Determinar la longitud de diseño del canal a 99% de la profundidad normal. Usar n = 400.

        Usar CANAL EN LÍNEA 05 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 22.

    5. El flujo a través de un vertedero discurre hacia un canal de pendiente leve, produciendo un salto hidráulico. El canal es rectangular, con Q = 3 m3/s, ancho de fondo b = 8 m, y n de Manning = 0.015. La profundidad y la pendiente en el pie del vertedero son 0.1 m y 0.1, respectivamente. La pendiente del canal aguas abajo, el cual funciona como una poza de disipación, es 0.0001. Calcular:

      • La profundidad crítica.

      • La longitud Ltc desde el pie del vertedero hasta la profundidad crítica aguas abajo.

      • El número de Froude en el pie del vertedero.

      • El número de Froude aguas abajo del salto hidráulico.

      • La profundidad secuente y2 (la profundidad normal aguas abajo del salto hidráulico),

      • La longitud Lj del salto, asumiendo Lj = 6.2 y2

      • La longitud mínima de la poza de disipación: Lsb = Ltc + Lj

      Usar CANAL EN LÍNEA 02 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 23. En este último, usar n = 100 y m = 100.

    6. El flujo a través de un vertedero discurre hacia un canal de pendiente leve, produciendo un salto hidráulico. El canal es rectangular, con Q = 100 pies3/s, ancho de fondo b = 20 pies, y n de Manning = 0.015. La profundidad y la pendiente en el pie del vertedero son 0.4 pies y 0.1, respectivamente. La pendiente del canal aguas abajo, el cual funciona como una poza de disipación, es 0.0001. Calcular:

      • La profundidad crítica.

      • La longitud Ltc desde el pie del vertedero hasta la profundidad crítica aguas abajo.

      • El número de Froude en el pie del vertedero.

      • El número de Froude aguas abajo del salto hidráulico.

      • La profundidad secuente y2 (la profundidad normal aguas abajo del salto hidráulico).

      • La longitud Lj del salto, asumiendo Lj = 6.2 y2

      • La longitud mínima de la poza de disipación: Lsb = Ltc + Lj

      Usar CANAL EN LÍNEA 02 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 23. En este último, usar n = 100 y m = 100.

    7. Una presa de derivación de altura H = 1.8 m está proyectada en un río de pendiente pronunciada con So = 0.035. Se prevé un salto hidráulico aguas arriba de la presa. Identificar el tipo de perfil de la superficie del agua. Usando CALCULADORA EN LÍNEA, calcular la longitud del perfil de la superficie del agua, desde la ubicación de la presa de derivación, en la dirección aguas arriba, al [extremo aguas abajo del] salto hidráulico. El canal tiene Q = 4 m3/s, ancho de fondo b = 3 m, talud z = 1, y n de Manning = 0.03. ¿Cuáles son las profundidades secuentes? ¿Cuál es el número de Froude del flujo aguas arriba? Usar m = 100 y n = 100. Verificar la profundidad secuente y2 usando CANAL EN LÍNEA 11.

    8. Un canal de pendiente moderada fluye hacia un canal de pendiente pronunciada con So = 0.03. Identificar el tipo de perfil de la superficie del agua en el canal de pendiente pronunciada. Usando CALCULADORA EN LÍNEA, calcular la profundidad normal en el canal de pendiente pronunciada, y la longitud del perfil de la superficie del agua hasta que la profundidad esté dentro del 2% de la profundidad normal. El canal tiene Q = 3 m3/s, ancho del fondo b = 5 m, talud z = 0, y n de Manning = 0.015. ¿Cuál es el número de Froude a la profundidad normal en el canal de pendiente pronunciada? Usar m = 100 y n = 100.

    9. Un canal de pendiente pronunciada So = 0.035 fluye hacia un canal con pendiente más suave So = 0.012. Identificar el tipo de perfil de la superficie del agua en el canal de pendiente suave. Usando CALCULADORA EN LÍNEA, calcular la profundidad normal en el canal aguas abajo, y la longitud [a profundidad normal] del perfil de la superficie del agua. El canal tiene Q = 3.2 m3/s, ancho de fondo b = 4 m, talud z = 2, y n de Manning = 0.015. ¿Cuáles son los números de Froude a la profundidad normal? ¿Cuál es la profundidad normal en el canal aguas arriba? ¿Cuál sería la longitud del perfil en caso de que el n de Manning se estime en 0.013? Usar m = 100 y n = 100.

    10. Un río tiene las siguientes propiedades:   descarga Q = 15 m3/s, ancho de fondo b = 8 m, talud z = 2, pendiente de fondo So = 0.0025, y n de Manning = 0.035. Se proyecta una presa de derivación de 2 m de altura para elevar la carga para un canal de riego (Fig. 7-23).

      • Calcular la profundidad normal.

      • Calcular la longitud total del perfil de la superficie del agua M1. Utilizar tres casos: (a) n = 100 y m = 100, (b) n = 200 y m = 200, y (c) n = 400 y m = 400. Comentar los resultados.

      • Usando los resultados de mayor resolución (n = 400 y m = 400), calcular la longitud parcial del perfil M1, desde la ubicación de la presa hasta un punto aguas arriba donde la profundidad normal sea excedida por 1%.

      Usar CANAL EN LÍNEA 01 y EN LÍNEA CURVA REMANSO 21.

      Una presa de derivación.

      Fig. 7-23  Una presa de derivación.

    11. Un flujo a través de un vertedero discurre hacia un canal de pendiente leve, produciendo un salto hidráulico. El canal es rectangular, con Q = 3.6 m3/s, ancho de fondo b = 5 m, y n de Manning = 0.015. La profundidad de flujo y la pendiente del canal en el pie del vertedero son 0.15 m y 0.1, respectivamente. La pendiente del canal aguas abajo, el cual funciona como una poza de disipación, es 0.00016. Utilizar n = 100 y m = 100. Calcular:

      • La profundidad crítica.

      • La longitud Ltc desde el pie del vertedero hasta la profundidad crítica aguas abajo.

      • El número de Froude en la punta del vertedero.

      • El número de Froude aguas abajo del salto hidráulico.

      • La profundidad secuente y2 (la profundidad normal aguas abajo del salto hidráulico).

      • La longitud Lj del salto, asumiendo Lj = 6.2 y2

      • La longitud mínima de la poza de disipación: Lsb = Ltc + Lj

      ¿Cuál sería la longitud de la poza de disipación si el ancho de fondo se aumentara a 7 m?

      Usar CANAL EN LÍNEA 02 y ONLINE WSPROFILES 23. En la última, usar n = 100 y m = 100.

    12. Una presa de derivación de 5 m de altura se proyecta en un canal que funciona bajo flujo crítico. El canal es rectangular, con Q = 100 m3/s, ancho de fondo b = 4.7 m, pendiente de fondo So = 0.01, y n de Manning = 0.023. Calcular la longitud del perfil C1. Asumir n = 100 y m = 100.

    13. Un canal de pendiente pronunciada, con So = 0.03, fluye hacia un canal que funciona bajo flujo crítico. El canal es rectangular, con Q = 100 m3/s, ancho de fondo b = 4.7 m, pendiente de fondo So = 0.01, y n de Manning = 0.024. Calcular la longitud del perfil C3. Asumir n = 100 y m = 100.

    14. Un canal horizontal de longitud L = 500 m es diseñado para conducir Q = 5 m3/s desde un reservorio aguas arriba hasta una caída libre aguas abajo. El ancho de fondo es b = 2 m y el talud z = 1.5. El canal está revestido con gaviones y el n de Manning recomendado por el fabricante es n = 0.028.

      • ¿Cuál es la profundidad de flujo aguas arriba (con precisión de 1 cm) requerida para pasar la descarga de diseño?

        ¿Cuál es la profundidad de flujo aguas abajo, es decir, la profundidad crítica en la caída?

      Usar EN LÍNEA CURVA REMANSO 32. Suponer n = 100 y m = 100.

    15. Una compuerta está diseñada para liberar el flujo supercrítico hacia una poza de disipación, donde se producirá un salto hidráulico. El fondo del canal es horizontal, de sección transversal rectangular. La descarga de diseño es Q = 5 m3/s, el ancho de fondo b = 5 m, y el n de Manning = 0.015.

      • ¿Cuál deberá ser la apertura de la compuerta (con precisión a 1 mm) para asegurar que la longitud del perfil de la superficie del agua aguas abajo no sea mayor de 10 m?

      • ¿Cuál es la profundidad crítica?

      Usar EN LÍNEA CURVA REMANSO 35. Suponer que n = 100 y m = 100. Suponer que So,u/s = 0.05 de manera que el flujo a través de la compuerta permanezca supercrítico.


    BIBLIOGRAFÍA

       [Arriba]   [Ecuación del Flujo Gradualmente Variado]   [Características de los Perfiles]   [Límites de los Perfiles]   [Metodologías]   [Ejemplo del Método Directo]   [Preguntas]   [Problemas]  

    Chow, V. T. 1959. Open-channel Hydraulics. McGraw Hill, Nueva York.

    U.S. Army Corps of Engineers. (2014). HEC-RAS: Hydrologic Engineering Center River Analysis System.

    USDA Soil Conservation Service. (1971). Classification system for varied flow in prismatic channels. Technical Release No. 47 (TR-47), Washington, D.C.


    http://openchannelhydraulics.sdsu.edu
    150815 19:00
  • Documents in Portable Document Format (PDF) require Adobe Acrobat Reader 5.0 or higher to view; download Adobe Acrobat Reader.