Ponce, V. M. 1979. "Clasificación de regímenes de flujo en canales", Actas, Cuarta Conferencia Hidrotécnica Nacional, Vancouver, B.C., Canadá.

Clasificación de los regímenes de flujo en canales Victor M. Ponce Versión online 2016 [Versión original 1979] RESUMEN Se presenta un tratamiento coherente de los regímenes de flujo en canales. Se identifican tres velocidades y tres difusividades (viscosidades) representativas. A partir de éstas, se pueden formular como máximo dos relaciones independientes de velocidad (los números de Froude y Vedernikov) y dos relaciones independientes de difusividad (los números de Reynolds y Ponce-Simons). Estas relaciones establecen los criterios para la clasificación de los regímenes de flujo en canales en: (1) subcrítico o supercrítico, (2) estable o inestable, (3) laminar o turbulento, y (4) cinemático o dinámico. 1.  INTRODUCCIÓN Desde la publicación del artículo de Robertson y Rouse en 1941 (10), el flujo en canales abiertos se ha clasificado en los siguientes cuatro regímenes: laminar-subcrítico, turbulento-subcrítico, laminar-supercrítico y turbulento-supercrítico. El número de Reynolds R = ud /ν (u = velocidad media, d = profundidad de flujo, y ν = viscosidad cinemática) es usada para caracterizar el flujo laminar o turbulento, un pequeño R indica flujo laminar y uno alto R indica flujo turbulento. En general, los valores de 1000 < R < 3000 corresponden a un rango de transición en el que el flujo no es ni laminar ni turbulento; sin embargo, los límites precisos del rango de transición no están claramente definidos. El número de Froude F = u / (gd)1/2 (g = aceleración de la gravedad) se usa para caracterizar el flujo subcrítico o supercrítico; el flujo se conoce como subcrítico para F < 1, y supercrítico para F > 1. Para F = 1, se dice que el flujo está en estado crítico. Jeffreys (4) y Vedernikov (11, 12) han sentado las bases para la clasificación del flujo en canales según la estabilidad de la superficie libre. Estos investigadores clasificaron el flujo como estable o inestable dependiendo de si las perturbaciones superficiales (ondas) tienden a atenuarse o amplificarse con el tiempo. El número de Vedernikov (9) se define como sigue:        m V = ___ MF         n (1) en la cual M es un número que describe la forma de la sección transversal, definido de la siguiente manera:                  dP M = 1 - R ____                  dA (2) En la Ec. 2, R = radio hidráulico, P = perímetro mojado, y A = área de flujo transversal. En la Ec. 1, m y n son los exponentes de R y u en la relación de fricción:                u n Sf  =  k ______               R m (3) en la cual Sf = pendiente de fricción, y k = coeficiente. Según el criterio de Vedernikov, el flujo será estable para V < 1, e inestable para V > 1. Para V = 1, se dice que el flujo es neutralmente estable, o para abreviar, "neutral". Ponce y Simons (7) han analizado la propagación de ondas poco profundas en el flujo en canales. Este estudio conduce a otra clasificación de flujo en canales, dependiendo de cuales fuerzas son dominantes en el movimiento. Según Ponce y Simons, las ondas superficiales de aguas poco profundas se pueden clasificar como sigue: (1) cinemáticas, si se pueden despreciar los términos de inercia y gradiente de presiones; (2) dinámicas, si se pueden despreciar los términos de fricción de fondo y gravedad (pendiente del lecho); y (3) mixtas cinemáticas-dinámicas, si ninguno de estos términos puede despreciarse sin incurrir en una pérdida importante de información. En este trabajo se presenta un tratamiento coherente de los criterios de clasificación anteriores. Se muestra que mientras que los criterios de Froude y Vedernikov son relaciones de velocidades (o celeridades), los criterios de Reynolds y Ponce-Simons son relaciones de difusividades (o viscosidades). Se identifican tres velocidades y tres difusividades, a partir de las cuales se pueden formular como máximo dos relaciones de velocidad independientes (los números de Froude y Vedernikov), y dos relaciones de difusividad independientes (los números de Reynolds y Ponce-Simons modificado). 2.  VELOCIDADES EN EL FLUJO EN CANALES Hay tres velocidades representativas en el flujo en canales: (1) velocidad media, (2) velocidad (o celeridad) de las ondas cinemáticas, y (3) velocidad (o celeridad) de las ondas dinámicas. La velocidad varía dentro de la profundidad del flujo; por lo tanto, en una formulación unidimensional, la velocidad media u se toma como la velocidad representativa. La velocidad de las ondas dinámicas (celeridad de la onda dinámica) es la de una onda gobernada exclusivamente por fuerzas de inercia y gradiente presiones. Se le conoce con varios nombres, como la celeridad de Lagrange [en honor a Lagrange (5), quien la derivó por primera vez], celeridad de onda dinámica (6) y celeridad de onda de gravedad pequeña. Sin embargo, en el contexto del flujo en canales, se prefieren los términos "onda dinámica" y celeridad de onda dinámica. La celeridad relativa de la onda dinámica (la velocidad de la onda relativa a la velocidad media del flujo) es: crd = (gdo)1/2 (4) en la cual do = profundidad del flujo normal. La velocidad de las ondas cinemáticas (celeridad de la onda cinemática) es la de una onda gobernada por la fricción de fondo y la gravedad, con exclusión de la inercia. Dicha onda puede ser de tipo cinemático-difusivo si se tiene en cuenta el gradiente de presión, o cinemático no difusivo si se desprecia. La celeridad de la onda cinemática también se conoce como celeridad de Kleitz-Seddon (1). Se expresa de la siguiente manera: cc = βu (5) en la cual β = exponente de A en la relación caudal-área de flujo, en estado permanente. Q = αAβ (6) En la Ecuación 6, Q = caudal y α = coeficiente. La celeridad relativa de la onda cinemática es: crc = (β - 1)u (7) 3.  DIFUSIVIDADES EN EL FLUJO EN CANALES Hay tres difusividades representativas en el flujo en canales: (1) difusividad molecular, (2) difusividad del flujo, o difusividad del canal, y (3) difusividad espectral. La difusividad molecular Dm se conoce comúnmente como la viscosidad cinemática ν en la siguiente relación:   τ           ∂u ____ = ν ____   ρ           ∂s (8) en la cual τ = esfuerzo cortante, ρ = densidad de masa, y ∂u/∂s = gradiente de velocidad en una dirección perpendicular a τ. La difusividad molecular también se puede expresar de la siguiente manera:                   uLm Dm = ν = _______                     2 (9) en la cual            2ν Lm = _____             u (10) es una longitud molecular característica. La difusividad del flujo, o difusividad del canal Do se define de la siguiente manera:           uLo Do = _____            2 (11) en la cual:           do Lo = _____           So (12) es una longitud característica del flujo normal, definida como la longitud de canal en la cual el flujo pierde una carga igual a la profundidad normal. La difusividad de canal Do se suele denominar "coeficiente de difusividad" (6), o de forma ligeramente modificada, como "difusividad hidráulica" (3). La difusividad espectral D se define de la siguiente manera:          uL D = _____           2 (13) en el cual L = longitud espectral de una onda sinusoidal. De las Ecuaciones 9, 11 y 13, las similitudes entre las tres difusividades son evidentes. Todos son productos de la velocidad media u multiplicada por la mitad de una determinada longitud. En el caso de la difusividad molecular, es la longitud molecular característica, definida por la Ec. 10. En el caso de la difusividad de flujo, es la longitud característica del canal definida por la Ec. 12. Para la difusividad espectral, es la longitud espectral de la onda. 4.  EL CRITERIO DE FROUDE:  FLUJO SUBCRÍTICO, CRÍTICO O SUPERCRÍTICO El criterio de Froude se caracteriza por el número de Froude, definido como la relación entre la velocidad media u y la celeridad relativa de la onda dinámica crd:          u              u F = _____ = _________         crd        (gd) 1/2 (14) El flujo se clasifica como subcrítico para F < 1, y como supercrítico para F > 1. Para F = 1, se dice que el flujo está en estado crítico. Desde un punto de vista físico, el estado crítico se refiere a la estacionariedad de las ondas dinámicas secundarias. En la práctica, esto significa que en el flujo subcrítico, las perturbaciones superficiales tienen dos direcciones de propagación (aguas arriba y aguas abajo), mientras que en el flujo supercrítico solo tienen una (aguas abajo, ya que las ondas dinámicas secundarias no pueden propagarse en la dirección aguas arriba). 5.  EL CRITERIO DE REYNOLDS:  FLUJO LAMINAR, TRANSICIONAL O TURBULENTO El criterio de Reynolds se caracteriza por el número de Reynolds, comúnmente definido de la siguiente manera:          ud R = _____           ν (15) Los valores pequeños de R se utilizan para describir el flujo laminar, mientras que los valores grandes corresponden al flujo turbulento. Para un rango de valores intermedios, el flujo no es laminar ni turbulento, denominándose en vez transitorio. Para los fines de este artículo, un número de Reynolds modificado R* se define de la siguiente manera:          Do         Lo R* = _____ = _____          Dm        Lm (16) de tal manera que:            R R* = _____           2So (17) 6.  EL CRITERIO DE VEDERNIKOV:  FLUJO ESTABLE, NEUTRAL O INESTABLE El criterio de Vedernikov se caracteriza por el número de Vedernikov, definido por la Ec. 1. Craya (2) ha demostrado que el número de Vedernikov es la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica:          crc V = _____          crd (18) Según el criterio de Vedernikov, el flujo se clasifica como estable para V < 1, y como inestable para V > 1. Para V = 1 , se dice que el flujo es neutralmente estable, o para abreviar, flujo neutral. Desde un punto de vista físico, el estado neutralmente estable es aquél para el cual la celeridad de onda es la misma en todo el espectro de longitud de onda (¡Las celeridades de onda cinemáticas y dinámica son iguales!). 7.  EL CRITERIO DE PONCE-SIMONS:  FLUJO CINEMÁTICO, MIXTO, O DINÁMICO Según Ponce y Simons (7), las ondas poco profundas de superficie libre se pueden clasificar de la siguiente manera: (1) cinemática, si se pueden despreciar la inercia y el gradiente de presiones; (2) dinámica, si se pueden despreciar los términos de fricción y gravedad; y (3) mixta, cuando ninguno de estos términos puede despreciarse. Ponce y Simons establecieron un número de onda adimensional σ* para caracterizar estos regímenes, definido de la siguiente manera:            2π σ* = (_____) Lo             L (19) En general, los pequeños valores de σ* describen el flujo cinemático, mientras que los valores grandes corresponden al flujo dinámico. Los valores intermedios de σ* caracterizan el flujo mixto; el rango del flujo mixto σ* es función del número de Froude. Para compensar parcialmente esta dependencia con el objetivo de analizar la aplicabilidad de los modelos cinemáticos, Ponce et al. (8) presentaron un período de onda adimensional normalizado con respecto al número de Froude τ*/Fo, definido por la siguiente ecuación:   τ*                   g _____ = TSo (_____)1/2   Fo                 do (20) en el cual T = período de onda, y Fo = número de Froude correspondiente a la profundidad normal do. Para el propósito de este artículo, un número adimensional P se define como sigue:          Do         Lo P = ______ = _____           D           L (21) de tal que manera que:         σ* P = ____         2π (22) 8.  REGÍMENES DE FLUJO EN CANALES Las tres velocidades (velocidad media u, celeridad relativa de la onda cinemática crc, celeridad relativa de la onda dinámica crd), y las tres difusividades (difusividad molecular Dm, difusividad del flujo Do, y difusividad espectral D) dar lugar a como máximo dos relaciones independientes de velocidad, y dos relaciones independientes de difusividad, como sigue: Número de Froude:          u F = _____          crd (14) Número de Vedernikov:          crc V = _____          crd (18) Número de Reynolds modificado:           Do        R* = _____           Dm        (16) Número de Ponce-Simons:          Do P = _____          D (21) Las relaciones de velocidad proporcionan una delimitación exacta de los límites de los régimenes, es decir, F = 1: el flujo crítico es el límite entre los regímenes subcrítico (F < 1) y supercrítico (F > 1); V = 1: el flujo neutral es el límite entre los regímenes estable (V < 1) e inestable (V > 1). Las relaciones de difusividad no proporcionan una delimitación exacta de los límites del régimen. Por lo tanto, es necesario definir un rango de aplicabilidad. Para el criterio de Reynolds, este rango intermedio se denomina flujo de transición, o transicional; para el criterio de Ponce-Simons, el rango intermedio corresponde al flujo mixto (es decir, mixto cinemático-dinámico). La Tabla 1 describe los cuatro criterios para la clasificación de los regímenes de flujo en canales. TABLA 1.  Regímenes de flujo en canales. Números adimensionales Regímenes Relaciones de velocidad       Q u = _____       A crc = (β - 1)u crd = (gdo)1/2 Froude Subcrítico Crítico Supercrítico         u F = _____         crd F < 1 F = 1 F > 1 Vedernikov Estable Neutral Inestable          crc V = _____          crd V < 1 V = 1 V > 1 Relaciones de difusividad           uLm Dm = _______           2           uLo Do = _______           2        uL D = ____        2 Reynolds (modificado) Laminar Transicional Turbulento        Do R* = _____         Dm R* pequeño R* intermedio R* grande Ponce-Simons Cinemático Mixto Dinámico        Do P = _____         D P pequeño P intermedio P grande Nota: β en Q = αAβ; Lm = 2ν/u; Lo = do/So. 9.  RESUMEN Y CONCLUSIONES Se presenta un tratamiento coherente de los regímenes de flujo en canales. Se identifican tres velocidades y tres difusividades representativas. A partir de éstas, se pueden formular como máximo dos relaciones independientes de velocidad (los números de Froude y Vedernikov), y dos relaciones independientes de difusividad (los números de Reynolds modificado y de Ponce-Simons). Estas relaciones establecen los criterios para una clasificación de los regímenes de flujo en canales como sigue: (1) subcrítico o supercrítico (número de Froude), (2) estable o inestable (número de Vedernikov), (3) laminar o turbulento (número de Reynolds modificado), y (4) cinemático o dinámico (número de Ponce-Simons). Mientras que para las relaciones de celeridad hay un límite de régimen preciso (F = 1: flujo crítico; V = 1: flujo neutral), para las relaciones de difusividad no existe un límite preciso. Más bien, el término régimen de flujo de transición o transicional, se utiliza para describir una condición intermedia entre el flujo laminar y turbulento, mientras que el término flujo mixto (cinemático-dinámico) describe una condición intermedia entre los regímenes de flujo cinemático y dinámico. APÉNDICE I.  BIBLIOGRAFÍA Chow, V. T., Open Channel Hydraulics, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, N.Y., 1959. Craya, A., "The Criterion for the Possibility of Roll Wave Formation," in Gravity Waves, National Bureau of Standards Circular 521, 1952, pp. 141-151. Dooge, J. C. I., "Linear Theory of Hydrologic Systems," Technical Bulletin No 1468, Agricultural Research Service, Oct. 1973. Jeffreys, H., "The Flow of Water in an Inclined Channel of Rectangular Section," Philosophical Magazine and Science Journal, Vol. 49, Series 6, May 1925, pp. 793-807. Lagrange, I. L.,"Mémoire sur la Théorie du Mouvement des Fluides," Bulletin de la Classe des Sciences Academie Royal de Belgique, 1783, pp. 151-198. Lighthill, M. J., and Whitham, G. B., "On Kinematic Waves, I. Flood Movement in Long Rivers," Proceedings, Royal Sooiety of London, London, England, Series A., Vol. 229, 1955, pp. 281-316. Ponce, V. M., and Simons, D. B., "Shallow Wave Propagation in Open Channel Flow," Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 103, HY12, Proc. Paper 13392, Dec. 1977, pp. 1461-1476. Ponce, V. M., Li, R. M., and Simons, D. B., "Applicability of Kinematic and Diffusion Models," Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 104, 053, Proc. Paper 13635, Mar. 1978, pp. 353-360. Powell, R. W., "Vedernikov's Criterion for Ultra-Rapid Flow," Transactions, American Geophysical Union, Vol. 29, No. 6, Dec. 1948, pp. 882-886. Robertson, J. M., and Rouse, H., "On the Four Regimes of Open Channel Flow." Civil Engineering, Vol. 2, No. 3, Mar. 1941, pp. 169-171. Vedernikov, V. V., "Conditions at the Front of a Translation Wave Disturbing a Steady Motion of a Real Fluid," C. R. (Doklady) U.S.S.R. Academy of Sciences, Vol. 48, No. 4, 1945, pp. 239-242. Vedernikov, V. V.. "Characteristic Features of a Liquid Flow in an Open Channel," C. R. (Doklady) U.S.S.R. Academy of Sciences, Vol. 52, 1946, pp. 207-210. APÉNDICE II.  SIMBOLOGÍA Los siguientes símbolos son usados en el siguiente artículo: A = área de la sección transversal; cc = celeridad de la onda cinemática, Ec. 5; crd = celeridad relativa de la onda dinámica, Ec. 4; crc = celeridad relativa de la onda cinemática, Ec. 7; D = difusividad espectral, Ec. 13; Dm = difusividad molecular, Ec. 9; Do = difusividad del canal, Ec. 11; d = profundidad del flujo; do = profundidad normal del flujo; F = Número de Froude; Fo = Número de Froude; g = aceleración de la gravedad; k = coeficiente en la Ec. 3; L = longitud de onda espectral; Lm = longitud característica molecular, Ec. 10; Lo = longitud característica del flujo normal, Ec. 12; M = número que describe la forma de la sección transversal, Ec. 2; m = exponente de R en la Ec. 3; n = exponente de u en la Eq. 3; P = perímetro mojado; P = número de Ponce-Simons, Ecs. 21 y 22; Q = caudal; R = radio hidráulico; R = número de Reynolds; R* = número de Reynolds modificado, Ecs. 16 y 17; Sf = pendiente de fricción; So = pendiente de fondo; T = período de onda; u = velocidad media; V = número de Vedernikov; α = coeficiente en la Ec. 6; β = exponente de A en la Ec. 6; ν = viscosidad cinemática; ρ = densidad de masa; σ = número de onda (σ = 2π/L); σ* = número (adimensional de onda) de Ponce-Simons, Ec. 19; τ = esfuerzo cortante, Ec. 8; y τ* = período adimensional de onda, en la Ec. 20.

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