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Fig. 1  Histograma de tiempo-área calculado.

3.   PRINCIPIOS DE ENRUTAMIENTO

En hidrología de aguas superficiales, el término "enrutamiento" se refiere al cálculo de caudales en el tiempo y el espacio. El objetivo es transformar un flujo de entrada en un hidrograma de salida. Esto se hace, ya sea (a) con un hietograma de precipitación efectiva, en el caso de cuencas hidrográficas, o (b) con un hidrograma de entrada, en el caso de embalses y canales. En general, el enrutamiento incorpora dos procesos físicos:

1. convección, comúnmente referida como translación o concentración, y

2. difusión, comúnmente conocida como atenuación o amortiguación.

La convección se interpreta como el movimiento de agua en una dirección paralela al fondo del canal. La difusión puede interpretarse como el movimiento del agua en una dirección perpendicular al fondo del canal. Matemáticamente, la convección es un proceso de primer orden, mientras que la difusión es de segundo orden (Ponce, 1989).

Se reconocen tres tipos de sistemas hidráulicos:

1. embalses,

2. canales, y

3. cuencas.

El comportamiento de estos sistemas con respecto a convección y difusión varía. Se observa lo siguiente:

1. En el enrutamiento de embalses, la convección es cero (nula) mientras que la difusión es finita; por lo tanto, el enrutamiento del embalse carece de convección y produce sólo difusión.

2. En el enrutamiento de canales, la convección suele ser el proceso dominante, de primer orden, mientras que la difusión suele ser mucho menor, de segundo orden. Para las ondas cinemáticas, la difusión es nula; para las ondas difusivas, la difusión es relativamente pequeña; para ondas cinemáticas/dinámicas mixtas, en la práctica denominadas ondas dinámicas, la difusión es considerable (Ponce y Simons, 1977).

3. En el enrutamiento de cuencas, la convección y la difusión suelen ser de un orden de magnitud similar y, por lo tanto, pueden tomarse en cuenta por separado. Esta es la base de la metodología de Clark.

El método de tiempo-área de enrutamiento de cuencas proporciona sólo convección; en contraste, el método de enrutamiento de embalses lineales proporciona sólo difusión. El hidrograma unitario es un hidrograma elemental aplicable a una cuenca dada, que incluye tanto la convección como la difusión en un hidrograma correspondiente a un impulso unitario de precipitación. El hidrograma unitario de Clark considera estos dos procesos por separado, primero, utilizando el método de tiempo-área para tomar en cuenta la convección, y segundo, el método de embalse lineal para tomar en cuenta la difusión.

4.  MÉTODO DE TIEMPO-ÁREA

El método de tiempo-área de enrutamiento de cuencas transforma un hietograma (efectivo) de tormenta en un hidrograma de escorrentía (Ponce, 1989). El método tiene en cuenta solo la convección y no considera la difusión. Por lo tanto, los hidrogramas calculados con este método muestran una patente carencia de difusión, lo cual resulta en picos más altos y bases de tiempo más cortas que las que se habrían obtenido si la difusión hubiera sido tomada en cuenta.

El método de tiempo-área se basa en el concepto de histograma de tiempo-área. Para desarrollar un histograma de tiempo-área, el tiempo de concentración se divide en varios intervalos iguales. El tiempo acumulado al final de cada intervalo se utiliza para dividir la cuenca en zonas delimitadas por líneas isócronas, es decir, los lugares geométricos de los puntos de igual tiempo de traslación hasta la boca de la cuenca. Para cualquier punto dentro de la cuenca, el tiempo de traslación se refiere al tiempo que tardaría un elemento de agua en trasladarse desde ese punto hasta la boca de la cuenca. Las subáreas delimitadas por las isócronas se miden y representan en forma de histograma, como se muestra en la Fig. 2.

Fig. 2  Método de tiempo-área: (a) delineación de isócronas, (b) histograma de tiempo-área.

Para que el método funcione correctamente, el intervalo del histograma de tiempo-área (Fig. 2b) debe ser el mismo que el del hietograma (efectivo) de precipitación (Fig. 3). El fundamento del método de tiempo-área es que, de acuerdo con el principio de concentración de escorrentía, el caudal parcial al final de cada intervalo es igual al producto de la precipitación efectiva por la subárea de la cuenca contribuyente (Ponce, 1989). El retardo y la suma de los flujos parciales da como resultado el hidrograma de inundación correspondiente al histograma de tiempo-área dado y al hietograma (efectivo) de precipitación.

Fig. 3  Hietograma efectivo de precipitación.

La Tabla 2 muestra el cálculo del método de tiempo-área utilizando los datos de las Figs. 2 y 3. Téngase en cuenta que las subáreas del histograma, resaltadas en rojo, están definidas para un intervalo de tiempo; por ejemplo, el valor 10 es aplicable en el tiempo t = 0 a t = 1 hr; 30 en t = 1 a t = 2 hr, y así sucesivamente. Además, téngase en cuenta los seis (6) incrementos efectivos de precipitación, resaltados en azul.

En la Tabla 2, los caudales parciales para el incremento de precipitación de 0,5 cm/hr se obtienen de multiplicar cada una de las subáreas de la Col. 2 por 0,5 cm/hr. Asimismo, los caudales parciales para el incremento de precipitación de 1,0 cm/hr se obtienen de multiplicar cada una de las subáreas de la Col. 2 por 1,0 cm/hr, y desfasados 1 hr, porque el incremento de precipitación de 1,0 cm/hr ocurre 1 hr más tarde; y así sucesivamente. La suma a través de las Cols. 3 a 8, que se muestra en la Col. 9, contiene las ordenadas del hidrograma de salida, en unidades convenientes (km²-cm/hr). La Columna 10 contiene los valores de la Col. 9, convertidos a unidades de caudal (m³/s).

Puede observarse que el método de tiempo-área conserva la masa exactamente. Para este ejemplo, la precipitación total es de 6,5 cm y el área de la cuenca es de 100 km.² Así, el volumen total de precipitación es: 100 × 6,5 = 650 km²-cm. La suma de las ordenadas del hidrograma de escorrentía (Col. 9) es 650 km²-cm/hr. Estas son ordenadas por hora; por tanto, el volumen del hidrograma es: 650 km²-cm/hr × 1 hr = 650 km²-cm. Además, téngase en cuenta que para este ejemplo, el tiempo de concentración es T_c = 4 hr, la duración de la tormenta es t_r = 6 hr, y la base de tiempo del hidrograma es T_b = 10 hr. Se cumple la siguiente relación:

Tb = Tc + tr (2)

Si bien el método de tiempo-área solo tiene en cuenta la convección, tiene la clara ventaja de que la forma de la cuenca se refleja en el histograma de tiempo-área y, por lo tanto, en el hidrograma de escorrentía. Cuando sea justificado, la difusión puede proveerse enrutando el hidrograma calculado por el método de tiempo-área a través de un embalse lineal, con una constante de almacenamiento apropiada. Por lo tanto, un modelo completo de transformación precipitación-escorrentía usando el método de tiempo-área y agregando difusión consta de los siguientes dos pasos:

1. Uso del método de tiempo-área para proporcionar convección pura, es decir, generar un hidrograma sólo trasladado.

2. Enrutamiento del hidrograma sólo trasladado a través de un embalse lineal con una constante K de almacenamiento apropiada, para proporcionar el efecto de difusión deseado.

5.  ENRUTAMIENTO DE EMBALSE LINEAL

El método de embalse lineal es un procedimiento computacional que proporciona difusión a un hidrograma de entrada. En otras palabras, un hidrograma enrutado a través de un embalse lineal se difuciona efectivamente, es decir, reduce su flujo a la vez que aumenta su base de tiempo. La cantidad de difusión depende del valor de la constante de almacenamiento K relativa al intervalo de tiempo Δt. Los valores de Δt/K inferiores a 2 proporcionan difusión; cuanto menor es Δt/K, mayor es la difusión. Los valores de Δt/K superiores a 2 proporcionan difusión negativa, es decir, amplificación; por lo tanto, los valores de Δt/K mayores a 2 no se utilizan en el enrutamiento de embalses (Ponce, 1989).

Dado el flujo de entrada I, el flujo de salida O, el intervalo de tiempo Δt, y la constante de almacenamiento K, la fórmula general para el enrutamiento en un embalse lineal es la siguiente (Fig. 4):

O2 = C0 I2 + C1 I1 + C2 O1 C0 = (Δt/K) / [ 2 + (Δt/K) ] C1 = C0 C2 = [ 2 - (Δt/K) ] / [ 2 + (Δt/K) ]  (3)

Fig. 4  Discretización en un embalse lineal.

La Tabla 3 muestra el enrutamiento de un hidrograma obtenido con el método de tiempo-área (Tabla 2, Col. 9) a través de un embalse lineal de constante de almacenamiento K = 2 hr, con Δt = 1 hr. Siguiendo la Ec. 3, los coeficientes de enrutamiento para este ejemplo son: C₀ = 0.2; C₁ = 0.2; C₂ = 0.6.

Téngase en cuenta que el flujo pico ha disminuido de 145 km²-cm/hr para el tiempo t = 6 hr en el flujo de entrada (Col. 2), a 109.88 km²-cm/hr para t = 7 hr en el flujo de salida (Col. 6). Además, téngase en cuenta que el tiempo base del hidrograma ha aumentado, de 10 horas en el flujo de entrada, a 26 horas en el flujo de salida. La suma de las ordenadas del hidrograma, 650 km²-cm/hr, es la misma que en el flujo de entrada (Col. 2) y el de salida (Col. 6), lo que indica que el enrutamiento a través del embalse lineal ha conservado la masa exactamente. La Figura 5 muestra el efecto de enrutamiento del hidrograma de tiempo-área (Tabla 2, Columna 9) a través de un embalse lineal (Tabla 3, Columna 6).

Fig. 5  Efecto del enrutamiento del hidrograma de tiempo-área a través de un embalse lineal.

6.  CONCEPTOS DE HIDROGRAMA UNITARIO

El hidrograma unitario se utiliza en hidrología de inundaciones como un medio para desarrollar el hidrograma de inundación, es decir para un hidrograma correspondiente a un hietograma de tormenta efectivo dado. La palabra "unidad" normalmente se toma para referirse a una unidad de profundidad de precipitación efectiva. Sin embargo, la palabra "unidad" también se refiere a una unidad de precipitación efectiva, la cual corresponde a un incremento de tiempo "unitario", es decir, un incremento indivisible (Ponce, 1989). Las duraciones típicas del hidrograma unitario son 1 h, 2 h, 3 h, 6 h, 12 h y 24 h. En hidrología de avenidas, las duraciones de 1 hora a 6 horas son comunes.

Una cuenca hidrográfica puede tener varios hidrogramas unitarios, cada cual con una duración diferente. El hidrograma unitario de 1 hora corresponde a 1 cm [o, alternativamente, 1 pulgada] de precipitación efectiva que dura 1 hora; el hidrograma unitario de 2 horas corresponde a 1 cm de precipitación efectiva que dura 2 horas; y así sucesivamente. Dado un hidrograma unitario de t_r -hr, la intensidad de precipitación efectiva es igual a (1/t_r) cm/hr. Para una cuenca dada, una vez que se ha determinado un hidrograma unitario de una duración dada, se puede utilizar para calcular los hidrogramas unitarios correspondientes a otras duraciones.

Un hidrograma unitario puede desarrollarse a partir de mediciones de aforos o por procedemientos sintéticos. Una vez desarrollado, el hidrograma unitario contiene información sobre las propiedades de convección (concentración de escorrentía) y difusión (difusión de escorrentía) de la cuenca. El hidrograma unitario se utiliza como unidad de construcción para desarrollar el hidrograma de avenida. Con este proposito, el hidrograma unitario se convoluciona con el hietograma de tormenta efectiva (Ponce, 1989).

7.  HIDROGRAMA UNITARIO ORIGINAL DE CLARK

Clark (1945) fue pionero en el uso del método de tiempo-área junto con un embalse lineal como medio para desarrollar un hidrograma unitario. Para demostrar su metodología, Clark usó el ejemplo del río Appomattox en Petersburg, Virginia, con los siguientes datos (Fig. 6):

1. Área de drenaje A = 1,335 millas cuadradas;

2. Tiempo de concentración T_c = 6 días;

3. Intervalo de tiempo Δt = 0.5 días = 12 hr;

4. Duración del hidrograma unitario t_r = 12 hr; y

5. Constante de almacenamiento (del embalse lineal) K = 15.428 hr ≅ 15 hr.

Fig. 6  Isócronas para el río Appomattox en Petersburg, Virginia (Clark 1945).

Por definición, C₁ = C₀. Además, en un intervalo de tiempo, Clark utilizó el hietograma de escorrentía unitaria, en el que I₂ = I₁. Por lo tanto, la ecuación de enrutamiento lineal del embalse se reduce a lo siguiente:

O2 = 2 C0 I2 + C2 O1  (4)

La Tabla 4 muestra el cálculo del ejemplo del río Appomattox.

• La Columna 1 muestra el tiempo, en días.

• La Columna 2 muestra el tiempo, en horas.

• La Columna 3 muestra el porcentaje del histograma de tiempo-área.

• La Columna 4 muestra el incremento de área.

• La Columna 5 muestra los flujos de entrada, calculados como las áreas de la Columna 4 multiplicadas por 1 pulgada/hora. Dado que la duración del hidrograma unitario es t_r = 12 hr, la intensidad de la precipitación es de 1/12 pulg/h, cada valor de la Columna 5 equivale a 12 veces el flujo entrante.

• La Columna 6 es la entrada real, es decir, 1/12 de la Columna 5.

• Las Columnas 7 y 8 muestran los flujos parciales, calculados usando la Ec. 4.

• La Columna 9 es el flujo de salida del embalse lineal, en las unidades ruteadas (mi²-pulg/hr).

• La Columna 10 es el flujo de salida (ordenadas del hidrograma unitario), convertido a pies³/s.

La suma de las ordenadas del hidrograma en la Columna 9 es 111,249 mi²-pulg/hr, que, cuando se integra en el intervalo de tiempo (12 hr) y se distribuye en el área de la cuenca (1,335 mi²), da como resultado exactamente 1 pulg de escorrentía (111.249 × 12 / 1,335 = 1). Asimismo, la suma de las ordenadas del hidrograma unitario en la Columna 10 es 71,786 pies³/s, que, cuando se integra en el intervalo de tiempo y se distribuye en el área de la cuenca, da como resultado exactamente 1 pulgada de escorrentía.

Es importante anotar que Clark no enrutó el histograma de tiempo-área a través de un embalse lineal; de hecho, uno no puede enrutar un área; solo una descarga. Efectivamente, Clark enrutó el flujo de entrada [hietograma de escorrentía unitaria] que se muestra en la Columna 6, un valor que está relacionado linealmente con el área. Para evitar una complejidad innecesaria, Clark fijó el intervalo de tiempo Δt igual a la duración del hidrograma unitario t_r, evitando así el retraso y la suma que habrían sido necesarios si el intervalo de tiempo Δt y la duración del hidrograma unitario t_r hubieran sido diferentes (consulte el ejemplo de la Tabla 5).

8.   HIDROGRAMA UNITARIO CLARK DE PONCE

El hidrograma unitario Clark presentado por Ponce difiere ligeramente del procedimiento original de Clark. Ponce aplicó el método de tiempo-área a una unidad de precipitación dada, de intensidad 1/t_r, para obtener un hidrograma unitario continuo basado en el histograma de tiempo-área. Luego ruteó este hidrograma unitario a través de un embalse lineal para obtener el hidrograma unitario de Clark (Ponce, 1989). El hidrograma unitario Clark de Ponce retiene la esencia de la metodología original, al mismo tiempo que proporciona un hidrograma unitario mejorado, consistente con principios establecidos de enrutamiento.

La Tabla 6 ilustra el cálculo del hidrograma unitario Clark de Ponce. Para hacer posible la comparación, los datos de este ejemplo son los mismos que los de la Tabla 5. La duración del hidrograma unitario es t_r = 2 hr, el intervalo de tiempo es Δt = 1 hr, y la constante de almacenamiento del embalse es K = 2 hr. Siguiendo la Ec. 3, los coeficientes de enrutamiento son: C₀ = 0.2; C₁ = 0.2; C₂ = 0.6. Para desarrollar los flujos, las subáreas del histograma se multiplican por dos (2) incrementos de precipitación de 1 hora, de 0,5 cm/h cada uno, y se retrasan adecuadamente. La suma de las Columnas 3 y 4, la cual se muestra en la Columna 5, es el hidrograma unitario sólo trasladado, con unidades de flujo (km²-cm/hr) y, siguiendo la Ec. 2, una base de tiempo T_b = 6 hr. Las Columnas 6, 7 y 8 son los flujos parciales del enrutamiento del embalse lineal. La Columna 9 es la suma de las Cols. 6, 7 y 8, es decir, la salida del embalse lineal. La Columna 9 muestra que el método conserva la masa; la suma de la Columna 9 es 100.

Téngase en cuenta que, a diferencia del hietograma de escorrentía unitaria discreta que se muestra en la Columna 5 de la Tabla 5, la Columna 5 de la Tabla 6 muestra un hidrograma unitario continuo. Ésa es la diferencia entre los dos métodos, y es por eso que los resultados son ligeramente diferentes. Siguiendo la Ec. 2, el hidrograma unitario Clark de Ponce tiene una base de tiempo de 6 horas, es decir, 1 hora más que el Clark original; en consecuencia, tiene un caudal pico más pequeño.

En la Tabla 6, el hidrograma unitario continuo se destaca en color magenta. Téngase en cuenta que el hidrograma unitario Clark de Ponce conserva la masa exactamente, como se muestra en las últimas líneas de las Cols. 2 y 8.

La Tabla 7 muestra una comparación lado-a-lado de los hidrogramas unitarios original de Clark y Clark de Ponce. Se ve que el hidrograma unitario Clark original tiene un pico algo más alto. La diferencia se compensa con la cola un poco más larga del hidrograma Clark de Ponce. Además, el hidrograma Clark de Ponce está retrasado alrededor de 1 h, lo cual refleja la base de tiempo del hidrograma unitario de entrada (6 h), en oposición al hietograma de escorrentía unitaria de entrada (5 h). Ambos hidrogramas unitarios conservan la masa exactamente (ver línea inferior de las Cols. 5 y 9). La Figura 7 muestra una representación gráfica de las diferencias entre los dos hidrogramas.

Fig. 7  Comparación de los hidrogramas unitarios original de Clark y Clark de Ponce.

9.  CÁLCULO EN LÍNEA

El programa ONLINE ROUTING CLARK permite el cálculo y la comparación lado-a-lado de los hidrogramas unitarios Clark original y Clark de Ponce. La Figura 8 muestra la comparación para el mismo ejemplo que se muestra en la Tabla 7.

Fig. 8  Cálculo en línea de los hidrogramas unitarios Clark original y Clark de Ponce.

10.  RESUMEN

Se explican y comparan el hidrograma unitario Clark original (Clark, 1945) y el hidrograma unitario Clark de Ponce (Ponce, 1989) El procedimiento de Clark enruta, a través de un embalse lineal, un hietograma discreto de escorrentía unitaria derivada del tiempo-área (resaltado en cian en la Tabla 5), mientras que el procedimiento de Ponce enruta el hidrograma unitario continuo derivado del tiempo-área (resaltado en magenta en la Tabla 6). Dado que el hidrograma unitario tiene una base de tiempo más larga que el hietograma de escorrentía unitaria, el procedimiento de Ponce proporciona un desfase de tiempo un poco mayor y un caudal pico correspondientemente más pequeño que la metodología original de Clark. La diferencia, sin embargo, no parece ser significativa. Como era de esperar, se demuestra que ambos métodos conservan la masa exactamente.

BIBLIOGRAFÍA

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