Fig. 1   Contaminación con aguas servidas en una corriente pequeña. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA DE CAÍDA DEL OXÍGENO DISUELTO Victor M. Ponce Profesor de Ingeniería Civil y Ambiental Universidad Estatal de San Diego, California [200725] RESUMEN En este artículo se presenta la ecuación diferencial de la curva de caída del oxígeno disuelto en un río o corriente de agua. Se puede demostrar que la solución de esta ecuación diferencial es esencialmente la misma que la clásica ecuación de Streeter-Phelps (Streeter y Phelps, 1925). A diferencia de esta última, la ecuación diferencial formulada en este artículo se resuelve numéricamente y, por lo tanto, no requiere integración. La ecuación diferencial es válida para todas las constantes de desoxigenación y oxigenación, a diferencia de la ecuación de Streeter-Phelps, que no está definida cuando estas constantes son iguales. 1. INTRODUCCIÓN La descarga de un efluente de aguas residuales en una corriente produce una demanda bioquímica de oxígeno (DBO), la cual decae exponencialmente en el tiempo y el espacio. Esta demanda de oxígeno provoca un déficit o escasez de oxígeno. Cuanto mayor es el déficit de oxígeno, mayor es la tasa de reposición de oxígeno proveniente de la atmósfera hacia la corriente. Estos dos procesos concurrentes y contrarios, consumo y reposición de oxígeno, producen una curva de caída, es decir, una curva que cae inicialmente debido a la aumento de la demanda de oxígeno, recuperándose asintóticamente aguas abajo debido al aumento en la tasa de reposición de oxígeno. El objetivo de este artículo es la formulación de la ecuación de caída del oxígeno disuelto. 2. DEMANDA DE OXÍGENO La disminución de la demanda de oxígeno en una corriente se puede modelar con la siguiente función exponencial (Tchobanoglous y Schroeder, 1985): D = Du e- kd t (1) en la cual: D = demanda bioquímica de oxígeno (DBO) (mg/litro); Du = valor final de DBO inmediatamente aguas abajo de la descarga efluente (mg/litro); kd = constante de desoxigenación (d-1); t = tiempo (d). Diferenciando la Ecuación 1, se obtiene la ecuación diferencial de demanda de oxígeno: dD/dt = - kd Du e- kd t (2) Usando la regla de la cadena, la ecuación de demanda de oxigeno es convertida al dominio del espacio: (dD/dx) (dx/dt ) = - kd Du e- kd t (3) dD/dx = - (kd /v ) Du e- (kd /v ) x (4) en la cual: x = distancia a lo largo de la corriente, medida hacia aguas abajo del punto de descarga efluente (m); v = velocidad media de la corriente (m/d). 3. DBO ÚLTIMO, O MÁXIMO En la frontera aguas arriba, el balance de masa lleva a lo siguiente: Du = ( Qs Ds + Qe De ) / (Qs + Qe ) (5) en la cual: Du = DBO último, o máximo, inmediatamente aguas abajo del punto de descarga efluente (mg/litro); Qs = caudal o descarga de la corriente (m3/s); Ds = DBO en la corriente, inmediatamente aguas arriba del punto de descarga efluente (mg/litro); Qe = caudal o descarga efluente (m3/s); De = DBO de la descarga efluente (mg/litro); Asumiendo que el flujo de la corriente, aguas arriba del punto de descarga, está casi limpio: Ds ≅ 0. Por lo tanto, el balance de masa se reduce a lo siguiente: Du = [ Qe / ( Qs + Qe ) ] De (6) 4. OFERTA DE OXÍGENO La ecuación diferencial de oferta de oxígeno en una corriente puede ser modelada con la siguiente fórmula (Tchobanoglous y Schroeder, 1985): dS/dt = ko (Ss - S ) (7) en la cual: ko = constante de oxigenación (d-1); Ss = concentración del oxígeno disuelto al nivel de saturación, la cual es función de la temperatura, salinidad, y presión atmosférica (mg/litro); y S = concentración del oxígeno disuelto (mg/litro). La cantidad (Ss - S ) es el déficit de oxígeno. Usando la regla de la cadena, la ecuación de oferta de oxígeno es convertida al dominio del espacio: (dS/dx) (dx/dt) = ko (Ss - S ) (8) Por lo tanto: dS/dx = (ko /v ) (Ss - S ) (9) 5. CURVA DE CAÍDA DEL OXÍGENO El gradiente de la concentración de oxígeno disuelto está dado por el gradiente de la oferta más el gradiente de la demanda: dO/dx = dS/dx  +  dD/dx (10) en la cual O = concentración de oxígeno disuelto (mg/litro). Combinando las Ecuaciones 4, 9, y 10: dO/dx = (ko /v ) (Ss - S )  -  (kd /v ) Du e- (kd /v )x (11) Desde que S = O: dO/dx = (ko /v ) (Ss - O ) -  (kd /v ) Du e- (kd /v )x (12) En un volumen de control (un tramo computacional) de longitud L (m), con índice j aguas arriba e índice ( j + 1) aguas abajo: (Oj+1 - Oj ) / L = (ko /v ) (Ss - Oj ) - (kd /v ) Du e- (kd /v )xj+1 (13) Por lo tanto: Oj+1 = Oj  +  L [ (ko /v ) (Ss - Oj ) - (kd /v ) Du e- (kd /v )xj+1 ] (14) 6. OXÍGENO DISUELTO INICIAL Para j = 0: Oj = O0. En la frontera de aguas arriba, el balance de masa lleva a lo siguiente: O0 = ( Qs Os + Qe Oe ) / ( Qs + Qe ) (15) en la cual: O0 = concentración de oxígeno disuelto, inmediatamente aguas abajo de la descarga efluente (mg/litro); Qs = descarga de la corriente (m3/s); Os = concentración de oxígeno disuelto en la corriente, inmediatamente aguas arriba de la descarga efluente (mg/litro); Qe = descarga efluente (m3/s); Oe = concentración de oxígeno disuelto en la descarga efluente (mg/litro); Asumiendo que el efluente es anóxico: Oe ≅ 0. Por la tanto, la Ecuación 15 se reduce a: O0 = [ Qs / ( Qs + Qe ) ] Os (16) 7. ECUACIÓN DE STREETER-PHELPS La ecuación de Streeter-Phelps, la cual data del año 1925, es la forma clásica de resolver la ecuación de caída del oxígeno disuelto (Streeter-Phelps, 1925; Tchobanoglous y Schroeder, 1984). La ecuación es la siguiente: O = Ss - [ kd / ( ko - kd ) ] Du [ e- (kd /v)x - e- (ko /v)x ]  -  (Ss - O0 ) e-(ko /v )x (17) en la cual: O = concentración de oxígeno disuelto (mg/litro) a la distancia x (m); Ss = concentración de oxígeno disuelto al nivel de saturación, la cual es función de la temperatura, salinidad, y presión atmosférica (mg/litro); y O0 = concentración de oxígeno disuelto inmediatamente aguas arriba de la descarga efluente (mg/litro). La ecuación de Streeter-Phelps es una ecuación algebraica procedente de la integración de la ecuación diferencial que gobierna la caída de oxígeno. La ecuación diferencial que se formula en este artículo está basada en los mismos principios que la ecuación de Streeter-Phelps. Sin embargo, la ecuación diferencial no se integra, sino que se resuelve numéricamente utilizando diferencias finitas. En la mayoría de los casos, ambos métodos conducirán a la misma respuesta. Cabe mencionar que la ecuación de Streeter-Phelps tiene la limitación de no estar definida cuando las constantes de oxigenación y desoxigenación son iguales, mientras que éste no es el caso de la solución numérica propuesta en este artículo. Por lo tanto, el método numérico es un mejor predictor de la curva de caída de oxígeno disuelto que el modelo de Streeter-Phelps, pudiendo ser usado con cualquiera de las constantes de oxigenación y desoxigenación, independientemente de que sean o no iguales. 8. CÁLCULO EN LÍNEA El procedimiento para calcular la curva de caída del oxígeno disuelto se ha implementado en las siguientes calculadoras en línea: ENLINEAOD, la cual resuelve la Ecuación 14, la solución numérica, y la Ecuación 17, la solución de Streeter-Phelps, para un conjunto de datos de entrada apropiados, en una sola tabla, permitiendo la comparación de resultados. ENLINEAODCURVAANALISIS, la cual resuelve la Ecuación 14 para una serie de 19 × 19 = 361 valores: 19 valores de DBO entre 10 y 1000 mg/litro; y 19 valores de Qe /Qs entre 0.01 to 1; haciendo con un total de 361 cálculos. La tabla de salida muestra la concentración de oxígeno disuelto en el punto más bajo de la curva de caída, y su posición a lo largo de la corriente. Para mayor conveniencia, esta calculadora puede ser corrida enteramente usando valores que han sido preestablecidos en forma apropiada. El video en YouTube Curva de caída del oxígeno disuelto describe y explica los criterios presentados en este artículo. 9. CONCLUSIONES La concentración de oxígeno disuelto en la frontera aguas arriba, a j = 0, inmediatamente aguas abajo de la descarga efluente, es estimada con la siguiente ecuación: O0 = [ Qs / ( Qs + Qe ) ] Os (16) El DBO último, o máximo, inmediatamente aguas abajo del punto de descarga efluente, se estima con la siguiente ecuación: Du = [ Qe / ( Qs + Qe ) ] De (6) La concentración de oxígeno disuelto en el nodo ( j + 1) es: Oj+1 = Oj  +  L [ (ko /v ) (Ss - Oj ) - (kd /v ) Du e- (kd /v )xj+1 ] (14) Dados: Qs (m3/s), Qe (m3/s), Ss (mg/litro), Os (mg/litro), De (mg/litro), v (m/d), L (m), kd (d-1), y ko (d-1), la concentración de oxígeno disuelto a lo largo de la corriente, es decir la curva de caída del oxígeno disuelto, puede ser calculada usando la Ecuación 14. Dos calculadoras en línea: (a) un caso individual, y (b) el caso general, completan el análisis. BIBLIOGRAFÍA Streeter, H. W., y E. B. Phelps. 1925. A study of the pollution and natural purification of the Ohio River. III. Factors concerned in the phenomena of oxidation and reaeration. U.S. Public Health Service, Bulletin No. 146. Tchobanoglous, G., y E. D. Schroeder. 1984. Water quality: Characteristics, modeling, modification. Addison-Wesley, Massachussets. NOTACIÓN D = demanda bioquímica de oxígeno (DBO) (mg/litro); De = DBO de la descarga efluente (mg/litro); Ds = DBO en la corriente, inmediatamente aguas arriba de la descraga efluente (mg/litro); Du = DBO último, o máximo, inmediatamente aguas abajo de la descarga efluente (mg/litro); kd = constante de desoxigenación (d-1); ko = constante de oxigenación (d-1); L = longitud del volumen de control, o tramo computacional (m); O = concentración de oxígeno disuelto (mg/litro); O0 = concentración de oxígeno disuelto inmediatamente aguas abajo de la descarga efluente (mg/litro); Os = concentración de oxígeno disuelto inmediatamente aguas arriba de la descarga efluente (mg/litro); Oe = concentración de oxígeno disuelto en la descarga efluente (mg/litro); Qe = descarga efluente (m3/s); Qs = descarga de la corriente (m3/s); S = concentración de oxígeno disuelto (mg/litro); Ss = concentración de oxígeno disuelto al nivel de saturación, una función de la temperatura, salinidad, y presión atmosférica (mg/litro); t = tiempo (d); x = distancia a lo largo de la corriente, medida aguas abajo del punto de descarga efluente (m); and v = velocidad media de la corriente (m/d).

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