Efecto del número de Vedernikov
en la dinámica del flujo superficial


Victor M. Ponce y K. T. Dillenberger

Versión online 2020

[Versión orginal 1993]


RESUMEN

Se ha probado el efecto de la difusividad hidráulica dinámica en el modelado de flujo superficial de ondas de difusión. A diferencia de la difusividad hidráulica cinemática convencional, la difusividad hidráulica dinámica es una función del número de Vedemikov. Los resultados de un programa de experimentos numéricos mostraron un retraso pequeño pero perceptible en la curva ascendente del hidrograma de flujo de salida (junto con un retraso en la curva descendente), al comparar simulaciones utilizando difusividades hidráulicas dinámicas y cinemáticas. La existencia del retraso se atribuye al error de la solución cinemática, que no tiene en cuenta la dinámica del flujo superficial. El error se cuantificó integrando el valor absoluto de la diferencia entre los dos hidrogramas, dividiendo esta diferencia por el volumen total de escorrentía y expresándolo en porcentaje. De hecho, el error es pequeño y es probable que sea inferior al 0.7 por ciento para una amplia gama de condiciones de flujo. Además, la tendencia del error a alcanzar su punto máximo en el rango medio de las pendientes de fondo (So = 0.001) arroja dudas sobre la aplicabilidad de las ecuaciones hidrodinámicas completas para modelar el flujo superficial. Dado que se muestra que el efecto dinámico es pequeño en una amplia gama de pendientes del fondo, un modelo de onda difusiva con inercia puede ser todo lo que se requiere para modelar la dinámica del flujo superficial.

1.  INTRODUCCIÓN

Hay dos formulaciones para la difusividad hidráulica en el modelado de ondas de difusión: la difusividad hidráulica cinemática (Hayami, 1951) y la difusividad hidráulica dinámica (Dooge, 1973; Dooge et al, 1982; Ponce, 1991a, 1991b). La difusividad cinemática hidráulica es: νk = qo/(2So), en la cual qo = caudal unitario de referencia, y So = pendiente de fondo. La difusividad hidráulica dinámica es: νd = (1 - V2)νk, en la cual V = número de Vedernikov. Si bien la difusividad hidráulica dinámica es teóricamente más atractiva que su contraparte cinemática, su efecto en el modelado de flujo superficial no es del todo evidente. Este documento informa sobre un programa de experimentos numéricos diseñado para probar el papel del número de Vedernikov en la modificación de la difusividad hidráulica a lo largo de una amplia gama de pendientes de fondo y, por lo tanto, afecta los resultados del modelado de flujo superficial de ondas de difusión.

2.  TEORÍA

Wooding (1965) fue pionero en el uso de ondas cinemáticas con una configuración de "libro abierto" para simular el flujo superficial. Desde entonces, las ondas cinemáticas se han consolidado en la investigación y la prácticas hidrológicas (HEC-1, Flood Hydrograph Package, 1990). Sin embargo, las ondas cinemáticas no son difusivas; por lo tanto, no deben usarse para modelar situaciones en las que la difusión cumple un rol importante. La cantidad de difusión está controlada por la pendiente de fondo; cuanto más pronunciada la pendiente, menor es la difusión, y viceversa. En un entorno urbano, en el cual las pendientes del plano y del canal suelen ser superiores al uno por ciento, la difusión se desvanece y prevalecen las ondas cinemáticas. Desafortunadamente, las soluciones numéricas de las ondas cinemáticas introducen cantidades variables de "difusión numérica", enmascarando el verdadero comportamiento no difusivo de las ondas cinemáticas (Ponce, 1991a).

Para hacer frente a esta dificultad, Ponce (1986) ha propuesto un modelo de onda de difusión de flujo superficial basado en el método de Muskingum-Cunge. A diferencia de los modelos de ondas cinemáticas de flujo superficial convencionales, el modelo de ondas de difusión de Muskingum-Cunge tiene la ventaja de que incorpora la difusión física, si la hay, de la escorrentía superficial, combinándola con la difusión numérica del problema en cuestión. Una característica importante de este tipo de modelado es que proporciona independencia de la malla, es decir, los resultados no son una función del tamaño de la malla. Esto libera al usuario del modelo para que se concentre en los aspectos físicos del problema, en lugar de en los numéricos, lo que lleva a un mejor y más consistente modelado.

El modelo de Muskingum-Cunge se basa en la combinación de difusividades físicas y numéricas. La difusividad física es (Hayami, 1951):


ν = qo/(2So) 		(1)

La difusividad numérica es (Cunge, 1969):


νn = c Δx (0.5 - X) 		(2)

en la cual c = celeridad de onda, Δx = intervalo de espacio, y X = Factor de ponderación de Muskingum (Chow, 1959). Igualar las difusividades físicas y numéricas conduce a:


X = 0.5 { 1 - [qo/(So c Δx)]} 		(3)

y


X = 0.5 (1 - D) 		(4)

en la cual


D = qo/(So c Δx) 		(5)

es el número de Reynolds de la celda (Ponce y Yevjevich, 1978).

En el enrutamiento de Muskingum,


K = Δx / c 		(6)

en la cual K = tiempo de traslación.


C = Δt / K = c ( Δt / Δx) 		(7)

en la cual C = número de Courant (Ponce y Yevjevich, 1978), y Δt = intervalo de tiempo. La expresión de Hayami para la difusividad hidráulica es, en esencia, una difusividad hidráulica cinemática νk, ya que la inercia está explícitamente ausente de su formulación.

Al incluir la inercia en la formulación de las ondas de difusión, Dooge (1973) pudo expresar la difusividad hidráulica en términos del número de Froude:


F = v/(gd)1/2 		(8)

en la cual v = velocidad media, g = aceleración de la gravedad y d = profundidad hidráulica. La difusividad hidráulica de Dooge es:


ν = [1 - (F2/4)] qo/(2So) 		(9)

aplicable al caso de fricción de Chezy en canales hidráulicamente anchos.

Dooge et. al. (1982) generalizaron esta formulación para cualquier tipo de fricción y forma de sección transversal:


ν = [1 - (β -1)2F2] qo/(2So) 		(10)

en la cual β = exponente en la curva de gasto Q = αAβ, con Q = caudal, y A = área de flujo.

El modelo de Dooge es un modelo de ondas de difusión con inercia, que se distingue de un modelo de ondas dinámicas, que implica la solución completa de las ecuaciones gobernantes de continuidad y movimiento (las ecuaciones de Saint Venant). La expresión de Dooge (y Dooge et al.) para la difusividad hidráulica puede considerarse correctamente como una difusividad hidráulica dinámica νd, ya que incluye la inercia en su formulación.

Ponce (1991a, 1991b) mejoró la formulación de Dooge et al. al expresar la difusividad hidráulica dinámica en términos del número de Vedernikov:


νd = (1 - V2) qo/(2So) 		(11)

El número de Vedernikov [V = (β - 1)F ] es la relación de la celeridad relativa de la onda cinemática crk = (β - 1)ν, a la celeridad relativa de la onda de inercia (celeridad de Lagrange) cri = (gd)1/2 (Craya, 1952). Esto lleva a la definición del número de Reynolds de celda dinámica:


Dd = (1 - V2)D 		(12)

La modificación de Ponce a las expresiones de Hayami y Dooge es importante porque hace que la difusividad hidráulica responda a la dinámica del flujo. En efecto, para el número de Vedernikov V = 1, la difusividad hidráulica desaparece y el flujo se encuentra en el umbral de estabilidad neutral.

Para aplicaciones de flujo superficial, la pregunta sigue siendo si la difusividad hidráulica dinámica constituye realmente una mejora significativa sobre la difusividad hidráulica cinemática. Aunque más atractivo desde un punto de vista teórico, se ha argumentado que la difusividad hidráulica dinámica representa solo una pequeña mejora sobre su contraparte cinemática cuando se consideran aplicaciones prácticas (Perumal, 1992). Por lo tanto, es necesario aclarar el papel preciso del número de Vedernikov en la dinámica del flujo superficial.

3.  PROGRAMA EXPERIMENTAL

El trabajo reportado aquí se propuso comparar los resultados del modelo de flujo superficial de ondas de difusión de Muskingum-Cunge usando: (1) el número de Reynolds de la celda cinemática D, Ec. 5; y (2) el número de Reynolds de celda dinámica Dd, Ec. 12. En esencia, se trató de determinar el efecto del número de Vedernikov en la dinámica del flujo superficial bajo una amplia gama de condiciones de flujo (geometría y fricción del fondo, pendientes del plano/canal e intensidad de lluvia efectiva). La comparación se realizó utilizando OVERLAND, un modelo de flujo superficial de ondas de difusión de Muskingum-Cunge desarrollado por el autor principal (Ponce, 1989b). Se implementó una versión especial del modelo para manejar las versiones cinemática o dinámica del número de Reynolds de la celda.

El programa de experimentos numéricos abarcó los tres casos que se muestran en la Tabla 1. El Caso I es una cuenca pequeña (6 ha) con baja fricción (Manning n = 0,015); El Caso II es una cuenca más grande (60 ha) con baja fricción (Manning n = 0,015); El Caso III es una cuenca pequeña (6 ha) con alta fricción (Manning n = 0,150 en los planos; n = 0,030 en el canal). Para cada caso, se especificaron tres pendientes de plano/canal: So = 0,01 (empinada), So = 0,001 (intermedio), y So = 0,0001 (nivel). Para cada caso y para cada plano/talud del cauce, se especificaron cuatro intensidades de lluvia efectivas: ie = 1, 2, 4 y 10 cm/hr. Esto condujo a un total de 72 ejecuciones de computadora (2 modelos × 3 combinaciones de geometría/fricción de fondo × 3 pendientes de plano/canal × 4 intensidades de lluvia efectivas).

Tabla 1.  Características de la cuenca de prueba.

La entrada a OVERLAND es la intensidad de lluvia efectiva ie (cm/h) con una duración especificada tr (hora). El resultado es un hidrograma de salida que muestra el caudal (m3/seg) frente al tiempo (hr). Para cada simulación, la duración de la lluvia se eligió cuidadosamente para permitir que el flujo de salida alcanzara el equilibrio, momento en el cual cesó la lluvia y el flujo retrocedió gradualmente a cero. El caudal en el equilibrio es: Qe = ieA, en el que A = área de captación (Ponce, 1989a).

4.  RESULTADOS

Los resultados de las simulaciones mostraron un retraso pequeño pero perceptible en la curva ascendente del hidrograma de flujo de salida, junto con un retraso correspondiente en la curva descendente, cuando se compararon las corridas usando números de Reynolds de celdas cinemáticas y dinámicas. La existencia del retraso se atribuye al error de la solución cinemática, que utilizó la formulación original del número de Reynolds de la celda (Ec. 5), en oposición a la solución dinámica, que se basó en la formulación mejorada dependiente del número de Vedernikov (Ec. 12).

El error se cuantificó integrando el valor absoluto de la diferencia entre los dos hidrogramas, cinemático y dinámico, para obtener una diferencia de volumen de escorrentía ΔV:


ΔV = ∫|Qcinemática - Qdinámica |dt 		(13)

La diferencia de volumen de escorrentía se normalizó dividiéndola por el volumen de escorrentía total Vr = ie trA. Por lo tanto, el error E (en porcentaje) es:


E = 100 (ΔV / Vr) 		(14)

La Figura 1 muestra el error incurrido al usar un número de Reynolds de celda cinemática en una solución de flujo superficial de ondas de difusión, en función de la pendiente del fondo, para cada uno de los tres casos: (a) Caso Ι, (b) Caso ΙΙ, y (c) Caso ΙΙΙ. Estos resultados muestran que el error es realmente pequeño pero perceptible, y es probable que se mantenga dentro del 0.7 por ciento para una amplia gama de condiciones de flujo. Esta figura también muestra que el error está inversamente relacionado con la fricción del fondo: para los Casos I y II, el error es inferior al 0.7 por ciento para intensidades de lluvia inferiores a 10 cm/h; para el Caso ΙΙΙ típicamente es menos del 0.1 por ciento. Los resultados también muestran una tendencia a que el error alcance su punto máximo alrededor del rango medio de las pendientes de fondo (So = 0.001).

5.  ANÁLISIS

La tendencia del error a alcanzar su punto máximo alrededor del rango medio de las pendientes de fondo requiere más discusión. Las Figuras 2 y 3 muestran la variación del número de Reynolds D de la celda con el plano y la pendiente del canal, respectivamente. Las Figuras 4 y 5 muestran la variación del número V de Vedernikov con el plano y la pendiente del canal, respectivamente. De estas cifras se pueden sacar las siguientes conclusiones:

  1. Para pendientes pronunciadas (So = 0.01), νk → 0, y por lo tanto: νd = (1 - V2)νk → 0. Esto equivale a: νd → νk. Ningún valor razonable del número de Vedernikov (en el rango estable) puede afectar esta tendencia. El error resulta ser pequeño o insignificante.

  2. Para pendientes suaves (So = 0.0001), el número de Froude disminuye de tal manera que F2 → 0; por lo tanto, el número de Vedernikov también disminuye de tal manera que V2 → 0. Esto nuevamente conduce a: νd → νk , y el error resultó ser pequeño o insignificante. Este comportamiento para pendientes suaves tiene una justificación teórica. Ponce y Simons (1977) han demostrado que en cuanto F2 → 0 y, en consecuencia, V2 → 0, la difusividad del modelo de onda dinámica se aproxima a la difusividad del modelo de onda difusiva, para una amplia gama de números de onda adimensionales [σ = (2π/L)Lo, en el cual Lo = longitud del canal de referencia, definida como Lo = do/ So, con do = profundidad de caudal de referencia].

  3. Para pendientes intermedias (So = 0.001), ninguna de las dos tendencias opuestas prevalece sobre la otra. El resultado neto es que el error, aunque sigue siendo pequeño, tiene una tendencia a alcanzar su punto máximo en los valores medios de la pendiente de fondo.

Estos resultados subrayan la inutilidad de intentar modelar el flujo superficial recurriendo a las ecuaciones hidrodinámicas completas (Chow y Ben-Zvi, 1973; Tayfur et al., 1993). Dado que el modelo de onda de difusión con inercia no mejora sustancialmente la descripción de la dinámica de onda para una amplia gama de condiciones de flujo, se deduce que hay muy poco que ganar si se busca una formulación aún más precisa y elaborada. Además, dado que el modelo de ondas de difusión con inercia no complica indebidamente la formulación, debería ser la forma preferida de modelar el flujo superficial con ondas difusivas.

6.  RESUMEN

Se ha realizado un programa de experimentos numéricos para probar el efecto de la difusividad hidráulica dinámica (Dooge, 1973; Ponce, 1991b) frente a la difusividad hidráulica cinemática (Hayami, 1951), cuando se utiliza para modelar el flujo superficial con difusión. Dos modelos (una onda de difusión convencional y una onda de difusión con inercia), tres escenarios típicos de flujo superficial de libro abierto de distinta geometría y rugosidad del fondo, tres pendientes del fondo (empinadas, intermedias y leves) y cuatro intensidades de lluvia efectivas (1, 2, 4 y 10 cm/h) condujo a un total de 72 simulaciones de computadora utilizando un modelo de flujo supercicial Muskingum-Cunge.

Los resultados mostraron un retraso pequeño pero perceptible en la curva ascendente del hidrograma de flujo de salida, junto con un retraso correspondiente en la curva descendente, al comparar los resultados de los modelos. El retraso se atribuye al error de la solución cinemática, que se basa en el número de Reynolds de la celda cinemática [ D = qo/(So c Δx) ], en comparación con la solución dinámica, que basa el cálculo de la difusión en la celda dinámica del número de Reynolds [ Dd = (1 - V2)D ]. El error se evaluó integrando el valor absoluto de la diferencia entre los dos hidrogramas, para obtener una diferencia de volumen de escorrentía, que se normalizó dividiéndola por el volumen de escorrentía total. Los resultados muestran que el error es realmente pequeño pero perceptible, y es probable que se mantenga dentro del 0.7 por ciento para una amplia gama de condiciones de flujo. Los resultados también muestran una tendencia a que el error alcance su punto máximo alrededor del rango medio de las pendientes de fondo (So = 0.001).

Los hallazgos de este estudio subrayan la inutilidad de intentar modelar el flujo superficial usando las ecuaciones hidrodinámicas completas. Dado que se muestra que el efecto dinámico es pequeño en una amplia gama de pendientes del fondo, un modelo de onda de difusión con inercia puede ser todo lo que se requiere para modelar la dinámica del flujo superficial. Además, dado que el modelo de ondas difusiva con inercia no complica indebidamente la formulación, debería ser la forma preferida de modelar el flujo terrestre utilizando ondas de difusión.

BIBLIOGRAFÍA

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Craya, A. 1952. "The Criterion of the Possibility of Roll Wave Formation." Gravity Waves, National Bureau of Standards Circular No. 521, 141-151.

Cunge, J. A. 1969. "On the Subject of a Flood Propagation Computation Method (Muskingum Method)." Journal of Hydraulic Research, 7(2), 205-230.

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Wooding, R. A. 1965. "A Hydraulic Model for the Catchment-Stream Problem." Journal of Hydrology, 3, 254-267.

SIMBOLOGÍA

A = área de flujo, área de la cuenca;

C = número de Courant;

c = celeridad de la onda;

cri = celeridad relativa de la onda de inercia (celeridad de Lagrange);

crk = celeridad relativa de la onda cinemática;

D = número de Reynolds de la celda cinemática;

Dd = número de Reynolds de la celda dinámica;

d = profundidad hidráulica;

do = profundidad de flujo de referencia;

E = porcentaje de error;

F = número de Froude;

g = aceleración de la gravedad;

ie = intensidad de precipitación efectiva;

K = tiempo de traslación de Muskingum;

L = longitud de la onda;

Lo = longitud del canal de referencia;

n = coeficiente de rugosidad de Manning;

Q = caudal;

Qe = caudal de equilibrio;

qo = caudal unitario de referencia;

So = pendiente de fondo;

t = variable tiempo;

tr = duración de la precipitación efectiva;

V = número de Vedernikkov;

Vr = volumen total de escorrentía;

v = velocidad media;

X = factor de ponderación de Muskingum;

α = coeficiente de la curva de gasto Q = αAβ;

β = exponente de la curva de gasto Q = αAβ;

Δt = intervalo de tiempo;

Δx = intervalo de espacio;

ΔV = diferencia de volumen de escorrentía;

ν = difusividad hidráulica;

νd = difusividad hidráulica dinámica ;

νk = difusividad hidráulica cinemática ; y

σ = número de onda adimensional.

Fig. 1 (a).  Parámetro de error E en función de la pendiente del fondo (plano y canal): Caso Ι.

Fig. 1 (b).  Parámetro de error E en función de la pendiente del fondo (plano y canal): Caso ΙΙ.

Fig. 1 (c).  Parámetro de error E en función de la pendiente del fondo (plano y canal): Caso ΙΙΙ.

Fig. 2 (a).  Número de Reynolds de la celda D en función de la pendiente del plano: Caso Ι.

Fig. 2 (b).  Número de Reynolds de la celda D en función de la pendiente del plano: Caso ΙΙ.

Fig. 2 (c).  Número de Reynolds de la celda D en función de la pendiente del plano: Caso ΙΙΙ.

Fig. 3 (a).  Número de Reynolds de la celda D en función de la pendiente del canal: Caso Ι.

Fig. 3 (b).  Número de Reynolds de la celda D en función de la pendiente del canal: Caso ΙΙ.

Fig. 3 (c).  Número de Reynolds de la celda D en función de la pendiente del canal: Caso ΙΙΙ.

Fig. 4 (a).  Número de Vedernikov V en función de la pendiente del plano: Caso Ι.

Fig. 4 (b).  Número de Vedernikov V en función de la pendiente del plano: Caso ΙΙ.

Fig. 4 (c).  Número de Vedernikov V en función de la pendiente del plano: Caso ΙΙΙ.

Fig. 5 (a).  Número de Vedernikov V en función de la pendiente del canal: Caso Ι.

Fig. 5 (b).  Número de Vedernikov V en función de la pendiente del canal: Caso ΙΙ.

Fig. 5 (c).  Número de Vedernikov V en función de la pendiente del canal: Caso ΙΙΙ.
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