1.  INTRODUCCIÓN

El modelado de la escorrentía superficial utilizando métodos basados en la mecánica con la ayuda de una computadora está bien establecido en la investigación y la práctica. Cualquier modelo de este tipo utiliza ondas cinemáticas, difusivas, o dinámicas, y continúan apareciendo artículos en la literatura que describen las aplicaciones de estos modelos. Sin embargo, todavía existe cierta confusión en cuanto a su aplicabilidad, como lo demuestra un artículo reciente de Tayfur et al. (1993), donde se hace una comparación de los resultados obtenidos por los tres modelos utilizando una pendiente muy pronunciada, pendiente (S = 0.086), sin tener en cuenta el efecto del tiempo de empinamiento t_r. La comparación no mostró esencialmente ninguna diferencia entre los resultados obtenidos con cualquiera de los tres modelos.

Las ondas cinemáticas y dinámicas se establecieron desde la década de 1960, primero en investigación y luego en la práctica. Las ondas difusivas, sin embargo, han permanecido dentro del ámbito de la investigación hasta hace poco tiempo, cuando se incorporaron a la Versión 4.0 de HEC-I: Paquete de Hidrografía de Inundaciones (Hydrologic Engineering Center, 1990). Dado el énfasis actual en los modelos computacionales de escorrentía superficial, tanto para aplicaciones de cantidad como de calidad del agua, se justifica aquí una revisión de los tres modelos. En consecuencia, este documento se centra en lo siguiente: (1) definición y propiedades de las ondas cinemáticas, difusivas, y dinámicas; (2) rol de la difusión numérica en el modelado de ondas cinemáticas; (3) naturaleza del choque cinemático; y (4) rol del número de Vedernikov en el modelado de escorrentía superficial.

2.  ONDA CINEMÁTICA

La teoría matemática de las ondas cinemáticas se atribuye a Lighthill y Whitham (1955), aunque su origen se remonta a finales del siglo pasado, concretamente a Kleitz y Seddon (Chow, 1959). En las últimas tres décadas, la aplicación de la teoría de ondas cinemáticas al flujo superficial y al flujo de corrientes ha cobrado un impulso considerable (Wooding, 1965; Woolhiser y Liggett, 1967; Hydrologic Engineering Center, 1990). Hay una cantidad considerable de conocimiento sobre la onda cinemática y continúan apareciendo artículos en la literatura que describen las capacidades y limitaciones del modelo (Hromadka y DeVries, 1988; Ponce, 1991a). Sin embargo, todavía hay algunos malentendidos sobre el papel preciso de las ondas cinemáticas en el modelado de la escorrentía superficial (Woolhiser, 1992).

Una onda cinemática se puede definir de tres maneras. Primero, una onda cinemática transporta masa, en contraste con la onda de inercia, la llamada onda de "gravedad" de la mecánica clásica, que transporta energía. En segundo lugar, la onda cinemática se caracteriza por una relación de uno a uno entre el caudal y el tirante. En tercer lugar, una onda cinemática solo tiene en cuenta las fuerzas gravitacionales y de fricción, y desprecia las fuerzas que surgen del gradiente de profundidad del flujo (dy/dx, en el que y = profundidad del flujo, y x = distancia a lo largo del canal) e inercia.

Las tres definiciones anteriores están relacionadas. Para ponerlos en la perspectiva adecuada, notamos que Lighthill y Whitham (1955), al sentar las bases de la teoría de la onda cinemática, subtitularon su artículo Propagación de inundaciones en ríos largos. Las ondas de inundación transportan masa; las ondas cinemáticas también transportan masa. Sin embargo, mientras que las ondas de inundación son de naturaleza cinemática, no todas las ondas cinemáticas son ondas de inundación. Para distinguir claramente entre ondas de inundación y ondas cinemáticas, examinamos más a fondo el subtítulo de Lighthill y Whitham. ¡La implicación es que la onda cinemática es aplicable solo a ríos largos! Si éste fuera el caso, la onda cinemática no podría aplicarse a los arroyos de montaña, que son relativamente cortos en comparación con la mayoría de los ríos aluviales. En la práctica, sin embargo, se considera que las ondas cinemáticas son aplicables tanto a los arroyos de montaña 'cortos' como a los ríos aluviales 'largos'.

La resolución de este conflicto fue posible gracias a Ponce y Simons (1977), quienes identificaron el parámetro que describe la aplicabilidad de las ondas cinemáticas. Demostraron que este último está controlado, no por la 'longitud' del río, o por la longitud L de la onda poco profunda, sino por la relación adimensional L_o/L, en la cual L es una longitud de canal de referencia, definida como sigue:

do Lo  =  _____             So

(1)

en la cual d_o = profundidad de flujo promedio, y S_o = pendiente de fondo. En general, una onda es cinemática si el número de onda adimensional

2π σ  =  _____ Lo            L

(2)

es lo suficientemente pequeño para un número de Froude dado:

uo Fo  =  _______           (gdo)1/2

(3)

La longitud de referencia del canal L_o se obtiene fácilmente, siempre que se pueda establecer una profundidad de flujo promedio, lo que suele ser el caso. No ocurre lo mismo con la longitud de onda L, que debe convertirse al dominio temporal para su uso práctico. Dado que:

L  =  cT

(4)

en la cual c es la celeridad de la onda y T es el período de la onda, la relación L_o/L se puede expresar como sigue:

Lo             do _____  =  ________    L            cTSo

(5)

La ley de Seddon (Seddon, 1900; Chow, 1959) se puede utilizar para expresar la celeridad de la onda cinemática c en términos de la velocidad media del flujo:

5 c  =  _____ uo            3

(6)

aplicable a la fricción de Manning en canales hidráulicamente anchos. Entonces, la relación L_o/L se expresa de la siguiente manera:

Lo               3           do/uo _____  =  ( ______ ) ( ______ )     L                5            TSo

(7)

Además, el período de la onda de inundación T puede expresarse en el término más familiar del tiempo de empinamiento t_r, o tiempo hasta pico del hidrograma de inundación. Suponiendo por simplicidad:

T  =  2tr

(8)

luego:

Lo              3            do/uo _____  =  ( ______ ) ( ______ )     L              10            trSo

(9)

En la naturaleza, mientras que d_o y u_o suelen estar restringidos dentro de un rango estrecho, t_r y S_o tienden a variar dentro de un rango amplio. De hecho, el tiempo de empinamiento de la onda de inundación t_r puede ser tan corto como de 5 a 15 minutos en cuencas pequeñas empinadas, y tan largo como de 3 a 6 meses en grandes cuencas de suave relieve. Para dar un ejemplo extremo, el tiempo de crecida del río Alto Paraguay en Porto Murtinho, Brasil (en la desembocadura del gran Pantanal de Mato Grosso), es de aproximadamente 6 meses. La pendiente del lecho del canal S_o generalmente varía entre S_o = 0.1 (o más empinada) en algunas situaciones de arroyos de montaña , y S_o = 0.00001 (o más suave) en ciertas configuraciones deltaicas y de mareas. Así, en general, la relación L_o/L está inversamente relacionada con el producto t_r S_o. Para un número de Froude dado, cuanto mayor sea el valor de t_r S_o (y por lo tanto, menor L_o/L), más cinemática es la onda.

A la luz de las consideraciones anteriores, el significado del subtítulo de Lighthill y Whitham queda ahora completamente esclarecido: El adjetivo 'largo' debe interpretarse en referencia a un pequeño L_o/L o grande t_r S_o. Lo último implica que t_r o S_o, o ambos, deben ser grandes. La experiencia revela que en la Naturaleza estos dos parámetros probablemente no son grandes simultáneamente. El tiempo de empinamiento t_r es largo (como en una gran cuenca de relieve suave) o la pendiente del lecho del canal S_o es empinada (como en un arroyo de montaña o en un flujo superficial en un entorno típico de cuencas pequeñas), pero, por lo general, no al mismo tiempo. Este comportamiento confirma la amplia gama de situaciones de campo en las que la onda cinemática es aplicable: Tanto para cuencas empinadas como suaves, e hidrogramas tanto de crecimiento rápido como de crecimiento lento, siempre que el producto sea lo suficientemente grande.

Ponce et al. (1978) desarrollaron un criterio para la aplicabilidad de las ondas cinemáticas en la escorrentía superficial. El criterio establece que para que una onda en aguas poco profundas sea cinemática, debe satisfacer la siguiente desigualdad adimensional:

uo N  =  tr So ( _____ ) > 85                       do

(10)

Cuanto mayor sea el valor de N, más cinemática será la onda. Por ejemplo, si t_r = 6 h, S_o = 0.01, la velocidad media u_o = 2 m/s, y profundidad de flujo d_o = 1 m, resulta que N = 432 > 85, lo que confirma que esta onda es cinemática. De acuerdo con la definición de onda cinemática, esta onda: (1) transportará masa, (2) describirá una relación uno-a-uno entre el caudal y el tirante en cualquier sección transversal, y (3) las fuerzas que surgen del gradiente de profundidad e inercia será tan pequeñas que serán insignificantes en comparación con las fuerzas gravitacionales y de fricción.

3.  ONDAS DIFUSIVAS

La especificación de una relación uno a uno entre el caudal y el tirante, una característica clave de la onda cinemática, impone una importante restricción física y matemática: La onda no puede difusionarse. Puede propagarse aguas abajo y transportar masa en el proceso, pero no puede disipar su caudal o tirante. Esta limitación de la onda cinemática se basa en su formulación: La omisión del gradiente de profundidad del flujo y los términos de inercia da como resultado una ecuación diferencial parcial de primer orden que gobierna el movimiento. Esta ecuación no puede describir la difusión, ya que esta última es un proceso de segundo orden. Desde una perspectiva física, la relación uno a uno caudal-tirante implica que la difusión está claramente fuera del problema, ya que esta última es causada por la presencia de una histéresis (¡por pequeña que sea!) en la relación caudal-tirante.

Dado que en la Naturaleza existen ondas en aguas poco profundas que se difusionan, aunque en pequeñas cantidades, la teoría de las ondas cinemáticas está incompleta sin un medio de incorporar este importante mecanismo. Lighthill y Whitham (1955) vieron esto claramente cuando sugirieron la extensión de las ondas cinemáticas al ámbito de las ondas difusivas, es decir, de ondas cinemáticas que incorporan una pequeña cantidad de difusión. Para lograr esto, la formulación de ondas cinemáticas se modifica para incluir el término de gradiente de profundidad de flujo, mientras se excluyen los términos de inercia. Esta importante extensión permite la descripción de curvas de gasto con histéresis y, en consecuencia, de la difusión de ondas cinemáticas, propiamente ahora ondas difusivas. Para resumir, las ondas difusivas siguen siendo cinemáticas por naturaleza; todavía transportan masa; sin embargo, a diferencia de las ondas cinemáticas, las ondas difusivas tienen la capacidad de experimentar cantidades pequeñas pero perceptibles de difusión física.

Esta difusión física está confirmada por la teoría y la experiencia. Siempre que el gradiente de profundidad del flujo no sea despreciable, producirá una curva de gasto con histéresis para cada onda poco profunda, lo que a su vez hará que la onda se disipe a medida que viaja aguas abajo. En la práctica, a medida que la pendiente del lecho del canal S_o disminuye (a medida que el flujo se mueve de los arroyos de montaña a los ríos aluviales), la pendiente de fricción S_f disminuye (ya que la rugosidad del canal generalmente disminuye en una dirección aguas abajo), y el gradiente de profundidad del flujo se vuelve cada vez más importante. Intuitivamente, mientras que las ondas cinemáticas se aplican a los arroyos de montaña, las ondas difusivas se aplican a los arroyos de los valles y los ríos aluviales. Una regla empírica validada por la experiencia dice que si la pendiente del lecho del canal es superior al 1 por ciento (S_o > 0.01), lo más probable es que la onda sea cinemática, presentará una relación de uno a uno entre el caudal y el tirante, y no se difusionará de manera apreciable. Si la pendiente del lecho del canal es inferior al 1 por ciento, es posible que la onda no sea cinemática; puede ser una onda difusiva. Si es así, contará con una curva de gasto con histéresis y mostrará una cantidad pequeña pero perceptible de difusión.

Ponce et al. (1978) han presentado un criterio para la aplicabilidad de las ondas difusivas. El criterio establece que para que una onda superficial (ya sea una onda de inundación o una onda de flujo superficial) sea una onda difusiva, debe satisfacer la siguiente desigualdad adimensional:

g M  =  trSo ( ____ )1/2 > 15                      do

(11)

Por ejemplo, si t_r = 6 h, S_o = 0.001 y la profundidad del flujo d _o =1 m, se sigue que M = 67,6 > 15, confirmando que esta onda es una onda difusiva. Esta onda tendrá las siguientes propiedades: (1) transportará masa, como la onda cinemática; (2) se difusionará apreciablemente, a diferencia de la onda cinemática; (3) describirá una relación caudal-tirante con histéresis en cualquier sección transversal; y (4) la fuerza que surge del gradiente de profundidad del flujo ya no puede despreciarse.

Se observa que en el ejemplo de la sección anterior, si la pendiente de fondo del canal hubiera sido S_o = 0.001, entonces N = 43.2, y la onda no habría calificado como una onda cinemática. Sin embargo, en el ejemplo de esta sección, si la pendiente es S_o = 0.01, entonces M = 676, y la onda aún calificaría como una onda difusiva. Se concluye que mientras que el modelo de ondas cinemáticas no se aplica a las ondas difusivas, el modelo de ondas difusivas sí se aplica a las ondas cinemáticas. En otras palabras, la teoría de las ondas difusivas puede describir correctamente tanto las ondas cinemáticas como las difusivas.

4.  ONDA DINÁMICA

Las ondas dinámicas abordan el problema de la propagación de ondas en aguas poco profundas en su forma más general, es decir, considerando todas las fuerzas, incluidas la fuerza gravitacional, de fricción, de gradiente de profundidad, y de inercia. Esto conduce a un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales de continuidad y movimiento, las ecuaciones de Saint Venant, para las cuales no se conoce una solución analítica completa. Sin embargo, existen varias soluciones analíticas incompletas de las ecuaciones de Saint Venant (Lighthill y Whitham, 1955; Dooge, 1973; Ponce y Simons, 1977). En particular, la solución lineal de Ponce y Simons es importante porque brinda una gran comprensión del comportamiento de las ondas en aguas poco profundas, incluidas las ondas cinemáticas, difusivas, dinámicas e inerciales. (Se observa que en la mecánica clásica, las ondas de inercia se denominan comúnmente ondas de "gravedad". Esta es la fuente de cierta confusión, ya que la fuerza de la gravedad no se incluye en la formulación de las ondas de inercia).

El trabajo de Ponce y Simons (1977) se resume como sigue:

1. La onda dinámica se encuentra hacia la mitad del espectro de números de onda adimensionales (10⁰ < σ < 10²), mientras que las ondas cinemáticas/difusivas se encuentran a la izquierda, (10^-2 < σ < 10⁰), y ondas inerciales a la derecha (10¹ < σ < 10⁴).

2. En el régimen de flujo estable, es decir, para el número de Vedernikov V < 1, la onda dinámica muestra tendencias difusivas muy fuertes. El número de Vedernikov es la relación entre la velocidad relativa de la onda cinemática y la velocidad relativa de la onda de Lagrange (Craya, 1952; Ponce, 1991b).

3. En el umbral de inestabilidad del flujo (V = 1), las velocidades de Seddon y Lagrange (Chow, 1959) son iguales, y las ondas cinemáticas, dinámicas e inerciales tienen la misma celeridad y carecen de difusión.

4. En el régimen de flujo inestable (V > 1), las ondas cinemáticas, dinámicas e inerciales tienden a amplificarse durante la propagación.

Los hallazgos de Ponce y Simons (1977) plantean una pregunta interesante que ayuda a ubicar la naturaleza de las ondas en aguas poco profundas en la perspectiva adecuada. Las ondas cinemáticas y, por extensión, las ondas difusivas, situadas a la izquierda del espectro del número de onda, transportan masa. Por otro lado, las ondas de inercia, situadas a la derecha del espectro del número de onda, transportan energía. Entonces, ¿qué transportan las ondas dinámicas, ya que se encuentran en el medio del espectro del número de onda? ¿Masa o energía? La respuesta lógica es que transportan ambos. Ahí radica la razón de las marcadamente fuertes tendencias disipativas de las ondas dinámicas. Las ondas en aguas poco profundas pueden transportar masa y energía simultáneamente sólo a expensas de la difusión de las ondas. En el régimen de flujo estable (V < 1), cuanto más dinámica es la onda, más fuertemente disipativa es (Ponce et al. 1978). En el umbral de inestabilidad del flujo (V = 1), las ondas dinámicas pierden su capacidad de disiparse y sus propiedades se fusionan con las de las ondas cinemáticas e inerciales.

La discusión anterior plantea la siguiente pregunta: Si la onda dinámica es tan fuertemente disipativa en la mayoría de los casos de interés práctico, ¿vale la pena intentar calcularla? ¿No se disiparía poco después de generarse, y su masa se uniría a la onda cinemática/difusiva subyacente más grande? ¿O se puede rastrear río abajo a medida que se propaga? Si es así, ¿a qué velocidad característica? ¿Seddon o Lagrange? Una pregunta más práctica es: Si la onda dinámica es tan fuertemente disipativa, ¿podría interpretarse correctamente como una onda de inundación? Lighthill y Whitham (1955) lo expresaron muy acertadamente cuando afirmaron (op. cit., p. 293): "Bajo las condiciones apropiadas para las ondas de inundación... las ondas dinámicas rápidamente se vuelven insignificantes, y son las ondas cinemáticas, siguiendo a menor velocidad, las que asumen el rol dominante".

En resumen, las ondas dinámicas no se aplican a las inundaciones en los arroyos de montaña. Todavía queda sin resolver la pregunta de si las ondas dinámicas se aplican al enrutamiento de las ondas de inundación en un entorno de valle típico. Excluyendo las ondas de inundación después de la rotura de una presa, tal vez la única afirmación clara que se puede hacer en este momento es que la onda dinámica se aplica al flujo de marea y situaciones similares donde hay un control significativo del tirante aguas abajo.

5.  ROL DE LA DIFUSIÓN NUMÉRICA EN EL MODELADO DE ONDAS CINEMÁTICAS

Si las ondas cinemáticas no pueden difusionarse, ¿por qué los modelos numéricos de ondas cinemáticas pueden mostrar algo de difusión. La resolución de esta paradoja radica en la conversión de una ecuación diferencial parcial en una ecuación en diferencias finitas en un modelo computacional.

Esta conversión sólo puede hacerse a costa de introducir un error. Este error es una función del tamaño de la malla (Δx y Δt) y tiende a desaparecer a medida que se refina progresivamente este tamaño. En el enrutamiento de inundaciones, el error que se introduce en un cálculo típico usando diferencias finitas se manifiesta como efectos de difusión y dispersión numéricas. Estos efectos son el resultado directo de especificar un dominio de espacio-tiempo discreto y no están necesariamente relacionados con la difusión y dispersión físicas que son inherentes a la naturaleza de las ondas de inundación.

La difusión numérica surge porque la amplitud de onda calculada es más pequeña que la amplitud de onda física. La dispersión numérica surge cuando la celeridad de onda calculada es diferente de la celeridad de onda física (Ferrick et al., 1984). En los modelos convencionales de ondas superficiales de diferencias finitas, el objetivo es minimizar la difusión y la dispersión numéricas eligiendo un tamaño de malla lo suficientemente pequeño para llevar estos errores a cantidades despreciables. De esta manera, la convección y la difusión de la onda superficial pueden ser adecuadamente descritas por el modelo numérico.

Desafortunadamente, no todos los modelos de ondas cinemáticas de diferencia finita han logrado minimizar la difusión y dispersión numéricas. A menudo, un modelo de onda cinemática de diferencias finitas ha utilizado inadvertidamente la difusión numérica como una forma de mostrar una cierta cantidad de difusión "físicamente realista" en los resultados calculados (Li et al., 1975; Curtis et al., 1978). Cunge (1969) demostró que los esquemas de diferencia finita de la ecuación de onda cinemática introducen cantidades variables de difusión y dispersión. Estos últimos interfieren en los efectos físicos, modificándolos (Abbott, 1976; Ponce, 1991a). Por lo tanto, un modelo de onda cinemática de diferencias finitas puede mostrar cierta difusión, siendo la cantidad una función del tamaño de la malla y los factores de ponderación utilizados para discretizar los términos de la ecuación de onda cinemática. El hecho de que esta difusión sea artificial e intrínsecamente relacionada con el tamaño de la malla se puede demostrar fácilmente resolviendo el mismo problema varias veces, cada vez reduciendo a la mitad el incremento espacial Δx y el incremento temporal Δt. Llevada al límite práctico, esta prueba conduce a la eventual desaparición de la difusión numérica en cuestión, acercándose el resultado a la solución analítica de la onda cinemática, que no es difusiva.

En resumen, si la onda cinemática se resuelve correctamente, logrando la eliminación completa de la difusión y la dispersión numéricas, el usuario del modelo sólo puede esperar describir ondas cinemáticas, pero no difusivas. Si el problema tiene alguna difusión física, esta última faltaría por completo en este enfoque. Por el contrario, si la onda cinemática se resuelve incorrectamente, introduciendo difusión y dispersión numéricas mediante la elección del tamaño de la malla, no hay garantía de que éstas estén relacionadas con la difusión y la dispersión, si hubieran, del problema físico. Cualquier elección arbitraria del tamaño de la malla causará cierta difusión y/o dispersión numérica, y dado que estas últimas no están relacionadas con el problema físico, la solución se degrada en consecuencia.

Afortunadamente, hay una salida a esta dificultad. Cunge (1969) y otros (Consejo de Investigación del Medio Ambiente Natural, 1975; Ponce y Yevjevich, 1979) han demostrado que la difusión y dispersión numéricas de modelos de ondas cinemáticas de diferencias finitas pueden manejarse. Hay una manera de optimizar la difusión numérica mientras se minimiza la dispersión numérica, para hacer que el método y sus errores inherentes trabajen a nuestro favor.

Mediante una combinación cuidadosa de la difusión física y numérica, el modelo de onda cinemática de diferencias finitas puede reproducir tanto ondas cinemáticas como difusivas, en la metodología denominada Muskingum-Cunge, una variante del método de Muskingum (Chow, 1959) en la cual los parámetros K y X se calculan directamente, en base a datos hidráulicos (fricción del canal, pendiente del lecho y características de la sección transversal), en lugar de indirectamente, con base en datos hidrológicos. El método de Muskingum-Cunge se aplicó primero al flujo en canales abiertos, y luego al flujo superficial (Ponce, 1986). Extensas pruebas han demostrado que el método es prometedor para el flujo superficial, ya que, a diferencia de los modelos convencionales de ondas cinemáticas de diferencias finitas, el modelo de Muskingum-Cunge es esencialmente independiente de la especificación de la malla.

6.  NATURALEZA DEL CHOQUE CINEMÁTICO

Las ondas cinemáticas carecen de difusión física. Sin embargo, las ondas cinemáticas no son lineales, una propiedad que les da la tendencia inherente a cambiar su forma al propagarse: se inclinan o se aplanan, dependiendo del nivel de agua, relativo a la sección transversal del canal (flujo dentro o fuera del banco). Bajo el conjunto correcto de circunstancias, una onda de inundación cinemática puede aumentar hasta el punto en que se convierte para todos los propósitos prácticos en una "pared de agua". (En situaciones de flujo superficial, la "pared de agua" sería una pequeña discontinuidad en el perfil de la superficie del agua). Éste es el choque cinemático, es decir, una onda cinemática que se ha empinado al propagarse hasta el punto de ser casi discontinua.

Contrariamente a la sabiduría convencional, no hay ninguna irrealidad física en referencia al choque cinemático. Si se permite que la tendencia al empinamiento continúe sin control, el choque cinemático se formará a su debido tiempo. La difusión, sin embargo, actúa para contrarrestar la tendencia al empinamiento. Por lo tanto, en los casos en que está presente la difusión, ya sea física o numérica, es probable que se detenga el desarrollo del choque cinemático. Esto explica la presencia generalizada de choques cinemáticos en las soluciones analíticas de la onda cinemática. Por otro lado, los choques cinemáticos a menudo están ausentes de los modelos de ondas cinemáticas de diferencias finitas, particularmente en aquéllos que tienen cantidades apreciables de difusión numérica.

Ponce y Windingland (1985) han aclarado las condiciones bajo las cuales es probable que se desarrolle el choque cinemático. Con base en consideraciones teóricas, respaldadas por extensos experimentos numéricos, establecieron las siguientes condiciones para el desarrollo de choque cinemático:

1. La onda debe ser cinemática, es decir, debe tener una difusión física despreciable. La difusión tiende a contrarrestar el desarrollo del choque.

2. La relación de flujo base a pico Q_b/Q_p debe ser pequeña, con cero como el límite inferior, como en el caso de una corriente efímera (recuérdese las inundaciones repentinas que ocurren en quebradas).

3. El canal es: (a) hidráulicamente ancho, es decir, de perímetro mojado casi constante, para permitir que la onda progrese sin obstáculos debido a la forma de la sección transversal; y (b) suficientemente largo para permitir que pase el tiempo para que se desarrolle el choque.

4. El flujo está en un número de Froude alto, dentro del régimen de flujo estable (V < 1). Cuanto mayor sea el número de Froude dentro del régimen de flujo estable, menor será la difusión física y es más probable que el choque continúe desarrollándose sin control. En el límite, a medida que el número de Vedernikov se acerca a 1 (y el número de Froude se acerca a 1.5, para canales hidráulicamente anchos con fricción de Manning), la difusión se desvanece a medida que el flujo alcanza el umbral de inestabilidad.

En la práctica, en una situación dada las cuatro condiciones pueden prevalecer al mismo tiempo. Que se forme un choque cinemático dependerá de la fuerza de cualquier condición o, si hay más de una presente, de su fuerza combinada. Por ejemplo, una solución analítica de la onda cinemática en flujo superficial cumple las condiciones 1 y 3 (a), y tal vez inclusive 3 (b) si el plano es lo suficientemente largo. El caso de una inundación repentina en una corriente efímera en una región árida o semiárida, satisface la condición 2, y probablemente inclusive la 3 (a), 3 (b) y 4. El hecho de que los choques cinemáticos no sean muy comunes en la Naturaleza apunta a la dificultad práctica de satisfacer todas o la mayoría de estas condiciones al mismo tiempo.

La condición 1 se cumple en los canales donde el producto t_rS_o es grande. La condición 2 se cumple en flujos efímeros. La condición 3 (a) se cumple en el flujo dentro del banco en canales rectangulares anchos, pero no si el flujo se desborda, ya que en este caso el perímetro mojado dejaría de ser constante. La condición 3 (b) depende de la fisiografía, geología, geomorfología y densidad de drenaje de la cuenca. Cuanto más larga sea una corriente, no interrumpida por la afluencia lateral en las confluencias tributarias, mayores serán las posibilidades de que se desarrolle el choque. La condición 4 depende de la relación de aspecto del canal, la fricción de contorno, y la presencia o ausencia de vegetación ribereña. Jarrett (1984) ha señalado que los flujos con un número de Froude alto son raros en los arroyos naturales. Por lo tanto, es más probable que la condición 4 sea la excepción y no la regla.

Se observa que los choques cinemáticos, en particular los asociados con inundaciones repentinas, son muy difíciles de documentar con precisión, dada la probabilidad obvia de daño corporal y posiblemente inclusive la muerte para aquéllos que se atrevan a intentarlo. Hjalmarson (1985) ha documentado la inundación repentina del 26 de julio de 1982 en el arroyo de Tanque Verde, al este de Tucson, Arizona, en la que se cobraron las vidas de ocho bañistas desprevenidos. Esta inundación fue con toda probabilidad un choque cinemático. Los choques cinemáticos y las inundaciones repentinas están asociados con uno o más de los siguientes: (1) ráfagas de nubes intensas, (2) una región semiárida o árida, (3) una corriente efímera y escarpada, (4) un canal de baja fricción (en el lecho como en la planicie), y (5) una cuenca con corrientes relativamente largas.

7.  ROL DEL NÚMERO DE VEDERNIKOV EN EL MODELADO DE LA ESCURRENTÍA SUPERFICIAL

Como señaló Hayami (1951) en su artículo clásico sobre las ondas difusivas, la difusividad hidráulica es el parámetro físico que controla las ondas difusivas. La difusividad hidráulica es:

qo v  =  ( _____ )              2So

(12)

en la cual q_o = caudal unitario de referencia, y S_o = pendiente de fondo. Por lo tanto, la cantidad de difusión que experimenta una onda de inundación durante la propagación es directamente proporcional al caudal unitario e inversamente proporcional a la pendiente de fondo. En otras palabras, cuanto más empinada sea la pendiente, menor será la cantidad de difusión de la onda. En el límite, para un canal suficientemente empinado, la difusión desaparece y la onda se convierte en una onda cinemática. La difusividad hidráulica de Hayami es propiamente una difusividad hidráulica cinemática:

qo vk  =  ( _____ )               2So

(13)

porque carece por completo de inercia. Es estrictamente aplicable para flujos en régimen estable, es decir, para números de Vedernikov pequeños, en el rango 0 < V < 0.25.

Al incluir la inercia en la formulación, Dooge (1973) y Dooge et al. (1982) extendieron el concepto de difusividad hidráulica al ámbito de las ondas dinámicas. Esto conduce al concepto de difusividad hidráulica dinámica (Ponce, 1991a; 1991b):

qo vd  =  (1 - V 2) ( _____ )                             2So

(14)

A diferencia de su contraparte cinemática, la difusividad hidráulica dinámica también es una función del número de Vedernikov. A manera que el número de Vedernikov V → 0, como con los flujos de bajo número de Froude: v_d → v_k. Por el contrario, en la medida que V → 1: v_d → 0, y la difusión desaparece. Este último proceso no se puede simular con la Ec. 13. Se concluye que v_d se aplica a través de una gama más amplia de condiciones de flujo que v_k (en el rango 0 < V < 1). Dado que v_d no complica significativamente la expresión para difusividad hidráulica, debería ser la forma preferida de modelar la escorrentía superficial con ondas difusivas. En la práctica, dado que la difusión de las ondas suele ser pequeña, la contribución dinámica a la difusión de las ondas resulta ser también pequeña (Perumal, 1992).

La inclusión del número de Vedernikov en la expresión de la difusividad hidráulica tiene la ventaja adicional que puede tomar en cuenta canales de forma de sección transversal arbitraria, es decir, aquéllos que no son hidráulicamente anchos. Llevado al límite, es decir, para el canal inherentemente estable (Liggett, 1975; Ponce, 1991b), el número de Vedemikov es cero (V = 0), y la difusividad hidráulica dinámica (Ec. 14) reduce a su contrapartida cinemática (Ec. 13). Se ve que en este caso, la atenuación del oleaje de crecida está gobernada por la difusividad hidráulica cinemática, para todos los valores de caudal o tirante.

8.  RESUMEN

Las ondas cinemáticas son herramientas útiles en hidrología aplicada. Con la cuestión de la aplicabilidad ahora claramente resuelta, deberían seguir utilizándose en el futuro. Cuando la extensión se hace a las ondas difusivas, el tema de la aplicabilidad deja de ser un obstáculo serio. La onda dinámica, la cual es fuertemente difusiva, aún tiene que demostrar que es necesaria en una aplicación típica de modelado de escorrentía superficial.

Se debe tener precaución al aplicar la onda cinemática al flujo superficial y al flujo en canales en el contexto de un modelo numérico, ya que la presencia de difusión y dispersión numéricas no controlada puede degradar la precisión del cálculo.

El método Muskingum-Cunge es particularmente prometedor, dada su demostrada independencia de malla. El uso de una difusividad hidráulica dinámica en lugar de su contraparte cinemática asegura que se tenga en cuenta el componente dinámico de la escorrentía superficial, por pequeño que sea.

Se necesita investigación sobre la naturaleza del choque cinemático y su aplicabilidad al estudio de inundaciones repentinas. Toda vez que ya se han identificado claramente las condiciones para el desarrollo de perturbaciones, el enfoque ahora debe cambiar al desarrollo de una clasificación del riesgo regional para inundaciones repentinas. Esto debe basarse en: (1) patrones climáticos y de precipitación; (2) geología, geomorfología y densidad de drenaje de la cuenca; y (3) la pendiente de la corriente, la fricción de fondo, y la forma de la sección transversal.

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