1.  INTRODUCCIÓN

Las inundaciones repentinas ocurren con poca advertencia y pueden provocar daños considerables a la vida y la propiedad. Pueden ser causados por aguaceros o por la falla repentina de una presa. Una onda de avenida por ruptura de presa se propaga a lo largo de un tramo de río con velocidad y profundidad que usualmente disminuyen con el tiempo y la distancia. La predicción de una onda de avenida por ruptura de presa ha recibido bastante atención en la literatura (Fread 1988; Singh 1996).

El hidrograma de salida durante la ruptura es una función de las propiedades geométricas e hidráulicas del embalse y de las características geotécnicas del terraplén. Su determinación suele estar sujeta a gran incertidumbre. Desde un punto de vista práctico, dado un rango factible de hidrogramas de ruptura y salida en un sitio, existe la necesidad de evaluar la propagación de estas ondas de avenida.

Para cualquier embalse dado, el pico de avenida por ruptura de presa está inversamente relacionado con la duración de la avenida y, por lo tanto, con el tiempo de subida del hidrograma de salida. Dado que la atenuación de la onda de avenida está inversamente relacionada con el tiempo de subida (Ponce et al 1978; Ponce 1989), se deduce que varios hidrogramas postulados de ruptura pueden eventualmente atenuarse hasta coincidir en el caudal pico a una determinada distancia aguas abajo. Este hecho ha sido confirmado experimentalmente (Chen y Armbruster 1980; Petrascheck y Sydler 1984).

Este artículo utiliza un modelo analítico de propagación de ondas de avenida (Ponce y Simons 1977) para estudiar la sensibilidad de las ondas producidas por la ruptura de una presa a un rango postulado de hidrogramas de salida. El objetivo es mostrar, utilizando parámetros adimensionales, que un nivel de inundación resultante de una ruptura eventualmente se vuelve, a cierta distancia aguas abajo, independiente de la magnitud del caudal máximo en el sitio de ruptura.

2.   TEORÍA

A partir de los primeros trabajos de Saint Venant, varios investigadores han estudiado el fenómeno de la propagación de ondas poco profundas en el flujo en canales abiertos (Saint Venant 1848; 1871a,b). En el siglo pasado, se ha desarrollado una gran cantidad de conocimiento para describir la propagación unidimensional de ondas de avenida (Seddon 1900; Thomas 1934; Hayami 1951; Lighthill y Whitham 1955; Stoker 1957; Ponce y Simons 1977).

Los estudios analíticos de la propagación de la onda de avenida por ruptura de una presa deben incluir todas las fuerzas importantes, es decir, gravedad, fricción, gradiente de presiones e inercia. Cuando se tienen en cuenta todas estas fuerzas, el resultado es un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales de continuidad y movimiento (Liggett 1975; Liggett y Cunge 1975). Si bien existe una serie de soluciones analíticas para estas ecuaciones (Lighthill y Whitham 1955; Dooge 1973; Ponce y Simons 1977), hasta la fecha no se dispone de una solución analítica completa. La solución lineal de Ponce y Simons (1977) es importante porque proporciona una buena perspectiva de los diversos tipos de ondas en flujos poco profundos, incluidas las ondas cinemáticas, difusivas, dinámicas y de gravedad.

Las ecuaciones de flujo no permanente gradualmente variado en un canal prismático de sección transversal rectangular, expresadas por unidad de ancho, son las siguientes (Liggett 1975):

Ecuación de continuidad:

∂d            ∂u           ∂d _____  + d ____  + u ____  = 0   ∂t             ∂x           ∂x

(1)

y ecuación de movimiento:

1       ∂u            u       ∂u           ∂d            ____  _____  +   ____  _____  +   _____  +   Sƒ  - So  =  0   g       ∂t            g       ∂x            ∂x

(2)

en la cual u = velocidad media; d = profundidad de flujo; g = aceleración de la gravedad; S_ƒ = pendiente de fricción; S_o = pendiente de fondo; x = espacio; y t = tiempo.

Para flujo uniforme, S_ƒ = S_o, y S_ƒ está relacionado con el esfuerzo cortante inferior τ_o como sigue (Chow 1959):

τo            Sƒ  =  ______             γdo

(3)

en la cual γ = densidad de agua; y d_o = profundidad del flujo de equilibrio.

Las ecuaciones de perturbación correspondientes a las Ecs. (1) y (2) son, respectivamente (Ponce y Simons 1977):

∂d'             ∂u'              ∂d' _____  + do _____  + uo _____  = 0   ∂t               ∂x               ∂x

(4)

1       ∂u'           uo     ∂u'           ∂d'                τ'o       d' ____  _____  +   ____  _____  +   _____  + So ( ____  - ____ )  =  0   g       ∂t            g       ∂x            ∂x                 τo       do

(5)

en la cual, por lo general, una variableƒ se ha expresado como ƒ = ƒ_o + ƒ'; en la cual ƒ_o = valor de equilibrio; y ƒ' = pequeña perturbación. Para hacer las Ecs. (4) y (5) matemáticamente tratables, el esfuerzo cortante de fondo está relacionado con la velocidad media de la siguiente manera:

1            τ  =  ___ ƒρu 2          8

(6)

en el cual ƒ = factor de fricción de Darcy-Weisbach y ρ = densidad del agua. Usando la Ec. (6), la ecuación (5) se reduce a:

1       ∂u'           uo     ∂u'           ∂d'                  u'       d' ____  _____  +   ____  _____  +   _____  + So ( 2 ___  - ___ )  =  0   g       ∂t            g       ∂x            ∂x                   uo      do

(7)

La transformación de las Ecs. (4) y (7) al dominio de la frecuencia se logra buscando una solución en forma sinusoidal (Ponce y Simons 1977), de tal manera que:

d'            ____ = d* exp [i (σ* x* - β* t*)]  do

(8)

u'            ____ = u* exp [i (σ* x* - β* t*)]  uo

(9)

en la cual d_* y u_* = funciones adimensionales de amplitud de profundidad y velocidad, respectivamente; σ_* = número de onda adimensional, definido como σ_* = (2π/L)(d_o/S_o); y β_* = factor de propagación complejo, con L = longitud de onda e i = ( -1 )^1/2.

La sustitución de las Ecs. (8) y (9) en las Ecs. (4) y (7) producen:

Fo2 β*2 - 2 (σ*Fo2 - i )β* - [σ*2 ( 1- Fo2 ) + 3σ*i )] = 0

(10)

en el cual F_o = u_o / ( gd_o )^1/2 = número de Froude.

La solución de la Ec. (10) es (Ponce y Simons 1977):

1            β*  =  σ* ( 1 - i ζ ) + σ* [( _____ - ζ 2 ) + i ζ ]1/2                                           Fo2

(11)

en la cual:

1            ζ  =  _______           σ*Fo2

(12)

En general, β_* es una función compleja expresada de la siguiente manera:

β* = βR + i βI

(13)

C + A     βR  = σ* [1 ± ( _______ )1/2 ]                              2

(14)

C - A     βI  = -σ* [ζ ∓ ( _______ )1/2 ]                              2

(15)

en la cual:

1            A  =  _____ - ζ 2           Fo2

(16)

1            C  = [( _____ - ζ 2 )2 + ζ 2 ]1/2               Fo2

(17)

Se aplican las siguientes definiciones: u_o = velocidad media del flujo en equilibrio; d_o = profundidad de flujo de equilibrio; S_o = pendiente de fondo; L = longitud de onda de la perturbación sinusoidal; T = período de onda de la perturbación sinusoidal; c = celeridad de la onda; L_o = longitud característica del canal, es decir, la longitud en la cual el flujo de equilibrio cae una altura igual a su profundidad; σ_* = número de onda adimensional; y τ_* = período de onda adimensional, de tal manera que:

L            c  =  ____            T

(18)

do            Lo  =  ____             So

(19)

2π         σ*  = ( ____ ) Lo              L

(20)

uo         τ*  = T ( ____ )                 Lo

(21)

3.  DESARROLLO DEL MODELO

Siguiendo a Ponce y Simons (1977), la atenuación de la onda de avenida sigue una ley exponencial en la que la amplitud en un momento dado t es igual a la amplitud inicial en t_o multiplicada por e^β_*lt_*, en la cual t_* = (t - t_o)u_o / L_o. Por lo tanto:

qp = qpo e β*I t*

(22)

de manera que:

qp                                  C - A     _____  = exp { -σ* [ζ - ( _______ )1/2 ]t* }   qpo                                    2

(23)

Para t_o = 0, t_* = tu_o /L_o. Suponiendo que la celeridad de la onda c = c_k = mu_o, en la cual c_k es la celeridad de la onda cinemática; luego t = X / c = X / (mu_o), en la cual X es la distancia a lo largo del tramo del río, desde el sitio de ruptura de la presa hasta el punto de interés. Por lo tanto:

qp       _____  = exp ( -α* X* )   qpo

(24)

en el cual el factor de atenuación α_* del caudal es:

2 π                C - A     α*  =  _______ [ζ - ( _______ )1/2 ]            m 2τ*                 2

(25)

y la distancia adimensional es:

X       X*  =  ____            Lo

(26)

La atenuación de la onda es función de parámetros adimensionales, tales que:

qp           ____  = ƒ1( α* , X* )  qpo

(27)

y

α* = ƒ2 ( m, τ*, Fo, X* )

(28)

Durante la ruptura de una presa de tierra, por lo general, el volumen total de agua almacenada en el embalse se libera como una onda de avenida. Asumiendo una forma de hidrograma sinusoidal por simplicidad, el volumen del embalse V_w está relacionado con la descarga máxima de la onda de avenida Q_p y la duración del hidrograma T de la siguiente manera:

1       Vw  =  __ QpT            2

(29)

o

1       Vw  =  __ qpBT            2

(30)

en la cual q_p = ancho unitario de caudal máximo, y B = ancho medio del tramo río aguas abajo. El caudal de referencia se puede tomar como sigue:

1       qo  =  __ qp           2

(31)

qo = uo do

(32)

La sustitución de las Ecs. 30 a 32 en la Ec. 25 conduce a lo siguiente:

2 π         Lo do B                C - A     α*  =  ______ (___________) [ζ - ( ______ )1/2 ]            m 2            Vw                       2

(33)

o, alternativamente, usando la Ec. 19:

2 π         do2 B               C - A    α*  =  ________ (_______) [ζ - ( _______ )1/2 ]            m 2 So        Vw                    2

(34)

4.  APLICACIÓN DEL MODELO

El modelo de atenuación de onda representado por las Ecs. 24-26 se ha aplicado a una serie de ejemplos hipotéticos, variando el volumen del hidrograma de ruptura, la pendiente de fondo del canal aguas abajo, y el caudal máximo de salida, por unidad de ancho. El volumen del hidrograma de salida de la brecha V_w es el mismo que el volumen del embalse en el momento de la ruptura, expresado en términos de volumen (m³) por unidad de ancho de canal aguas abajo. La pendiente de fondo del canal aguas abajo S_o es la pendiente del canal de equilibrio del tramo inmediatamente debajo del sitio de la presa (por simplicidad, se supone que es constante en esta aplicación). El caudal máximo, por ancho unitario q_p es el caudal máximo calculado inmediatamente aguas abajo del sitio de la presa.

Para el volumen del hidrograma de ruptura, se seleccionaron tres conjuntos de eventos probables, que abarcan las siguientes duraciones de ruptura: 0.75 h (corta), 1.5 h (promedio), 3 h (larga) y 6 h (muy larga); y descargas máximas de ancho unitario: 5 (bajo), 10 (promedio), 20 (alto), y 40 m²s^-1 (muy alto). Suponiendo hidrogramas de ruptura sinusoidales, el primer volumen [Ec. 30] es: 0.5 (5 m²s^-1 × 3 h) = 0.5 (10 m²s^-1 × 1.5 h) = 0.5 (20 m²s^-1 × 0.75 h) = 27,000 m³. El segundo volumen es: 0.5 (10 m²s^-1 × 3 h) = 0.5 (20 m²s^-1 × 1.5 h) = 0.5 (40 m²s^-1 × 0.75 h) = 54,000 m³. El tercer volumen es: 0.5 (10 m²s^-1 × 6 h) = 0.5 (20 m²s^-1 × 3 h) = 0.5(40 m²s^-1 × 1.5 h) = 108,000 m³.

Se utilizó la Ecuación 30 para calcular la duración del hidrograma (período de onda de inundación) T. Se eligieron tres pendientes de fondo del tramo aguas abajo para abarcar una amplia gama de valores que se encuentran en la práctica: S_o = 0.01 (empinada), 0.001 (promedio) y 0.0001 (leve). Los valores fuera de estos rangos se consideran inusuales.

El valor adoptado de m = 5/3 es aplicable a la fricción de Manning en canales hidráulicamente anchos (Chow 1959). Se asumió n de Manning = 0.05; se considera que este valor está en el rango medio de las condiciones de campo típicas (Barnes 1967).

Las Figuras 1-3 muestran los resultados de los cálculos de propagación de avenidas por rotura de presa utilizando las Ecs. (24)-(26), para volúmenes de embalse de 27 000, 54 000 y 108 000 m³, respectivamente. Cada figura tiene tres partes: (a), (b) y (c), correspondientes a pendientes de fondo de 0.01, 0.001 y 0.0001, respectivamente. El examen de estas cifras muestra de manera concluyente que las ondas de avenida de ruptura de la represa eventualmente se atenúan al mismo caudal máximo a una cierta distancia adimensional aguas abajo, independientemente del caudal máximo en el sitio de la represa. Esta descarga atenuada se denomina "descarga pico última" (q_p)_u y su distancia adimensional asociada, la "distancia adimensional última" (X/L_o)_u. Ambas son funciones, principalmente de la pendiente del lecho y, secundariamente, del volumen del hidrograma, como se muestra en la Tabla 1.

Una forma alternativa de analizar los resultados del modelo de propagación de inundaciones por rotura de presa se logra definiendo un número de Froude de rotura de presa de la siguiente manera:

qp Fdb  =  __________             ( g Vw )0.5

(35)

Fig. 1  Descarga máxima adimensional en función de la distancia adimensional, para Vw = 27,000 m3, and (a) So = 0.01; (b) So = 0.001; and (c) So = 0.0001.

Fig. 2  Descarga máxima adimensional en función de la distancia adimensional, para Vw = 54,000 m3, and (a) So = 0.01; (b) So = 0.001; and (c) So = 0.0001.

Fig. 3  Descarga máxima adimensional en función de la distancia adimensional, para (a)Vw = 108,000 m3 and So = 0.01; (b) Vw = 54,000 m3 and So = 0.001; and (c) Vw = 54,000 m3 and So = 0.0001.

Table 1.  Descarga pico última (qp)u y la distancia última correspondiente Xu para valores seleccionados de Vw y So.

Las Figuras 4-6 muestran los resultados de los cálculos de propagación de ondas de avenida usando las Ecs. (24)-(26), con número de Froude de rotura de presa [Eq. (35)] trazado en el eje de ordenadas. El volumen del hidrograma, la pendiente de fondo y caudal pico varían de la misma manera que en las Figs. 1-3. Estas cifras generalizan el comportamiento de las olas de crecida por rotura de presa para una amplia gama de condiciones de flujo.

Fig. 4  Número de Froude de la ruptura de la presa en función de la distancia adimensional, para Vw = 27,000 m3.

Fig. 5  Número de Froude de ruptura de presa en función de la distancia adimensional, para Vw = 54,000 m3.

Fig. 6  Número de Froude de ruptura de presa en función de la distancia adimensional, para Vw = 108,000 m3.

5.  CONCLUSIONES

Se ha utilizado un modelo analítico de flujo no permanente unidimensional en canal abierto para estudiar la propagación de ondas de inundación después de la ruptura de una presa, bajo una amplia gama de condiciones de embalse, ruptura y flujo aguas abajo. Una característica importante del modelo es su capacidad para representar el tránsito de las ondas de inundación en términos de parámetros adimensionales. Las características no lineales de los fenómenos se conservan mediante el cálculo de variables hidráulicas de referencia a intervalos cortos durante la simulación. Se determina la sensibilidad de la onda de inundación enrutada a la magnitud del caudal máximo en la brecha, un valor cuya determinación suele estar sujeto a gran incertidumbre.

Se encuentra que las ondas de inundación de la ruptura de una presa se atenuarán hasta alcanzar el mismo caudal máximo a cierta distancia aguas abajo de la presa. Este caudal y su distancia asociada se denominan "caudal último" y "distancia última", respectivamente. Estos valores son función, principalmente, de la pendiente de fondo y, en segundo lugar, del volumen del hidrograma de salida durante la ruptura. En particular, la distancia última está fuertemente relacionada con la pendiente de fondo, como se muestra en la Tabla 1. Se confirma que las ondas de inundación que se trasladan en pendientes pronunciadas (S_o = 0.01) tienen tendencia a ser cinemáticas, es decir, a atenuarse poco a lo largo de la propagación. Por el contrario, las ondas de inundación que se trasladan en pendientes suaves (S_o = 0.0001) tienen una tendencia a ser muy difusivas (dinámicas), es decir, a atenuarse muy rápido. Por ejemplo, para V_w = 54 000 m³, S_o = 0.0001, y para caudales máximos de ruptura de presa en el rango de 10-40 m²/s, el caudal último máximo (q_p)_u = 3.18 m²s^-1 , y ocurre a una distancia X_u = 5 km aguas abajo del sitio de la presa.

Los hallazgos de este estudio son útiles para caracterizar las ondas de inundación de la ruptura de una presa a través de una amplia gama de condiciones del sitio y flujo. Esto puede ser de ayuda en la planificación de programas de mitigación de desastres causados por inundaciones.

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