La relación de Lane revisada, con cálculo en línea

La relación de Lane revisada,
con cálculo en línea

Victor M. Ponce

26 Febrero 2015

RESUMEN

Una nueva relación de Lane de la hidráulica fluvial se deriva de los principios básicos del transporte de sedimentos. La relación se expresa de la siguiente manera:

Q_s (d_s/R)^1/3 ∝ γ Q_w S_o

A diferencia de la relación original de Lane, esta nueva relación es adimensional. Se desarrolla una calculadora en línea para resolver la ecuación de transporte de sedimentos que surge de la nueva relación de Lane.

1. INTRODUCCIÓN

Este artículo revisa la relación de Lane de la hidráulica fluvial (Lane, 1955):

Q_s d_s ∝ Q_w S_o (1)

La nueva relación se expresa como una ecuación adimensional, con el tamaño de partícula (d_s) reemplazado por la función de rugosidad relativa (d_s/R)^1/3. La derivación se detalla aquí.

2. LA FUNCIÓN DE FRICCIÓN

La ley de fricción cuadrática es la siguiente (Ponce y Simons, 1977):

τ_o = ρ f v² (2)

en la cual f es un factor de fricción igual a 1/8 del factor de fricción de Darcy-Weisbach.

El esfuerzo cortante en el fondo en términos de variables hidráulicas es el siguiente (Chow, 1959):

τ_o = γ R S_o (3)

Combinando las Ecs. 2 y 3:

S_o = f v² / (gR) (4)

El número de Froude es (Chow, 1959):

F = v / (gD)^1/2 (5)

Combinando las Ecs. 4 y 5:

S_o = f (D/R) F² (6)

Para un canal hidráulicamente ancho: D â‰… R. Por lo tanto:

S_o = f F² (7)

3. LA FUNCIÓN DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS

Una función general de transporte de sedimentos es la siguiente (Ponce, 1988):

q_s = ρ k₁ v^m (8)

Según Colby (1964), el exponente m varía en el rango 3 â‰¤ m â‰¤ 7, correspondiendo los valores más bajos a descargas altas, y los valores más altos a descargas bajas.

Asúmase m = 3 como primera aproximación (alta descarga de agua y sedimentos). En este caso, la función de transporte de sedimentos es:

q_s = ρ k₁ v³ (9)

en la cual k₁ es una constante adimensional.

Usando la Ec. 2:

q_s = (k₁/f) τ_o v (10)

a partir del cual:

q_s ∝ τ_o v (11)

es decir, la tasa de transporte de sedimentos, por unidad de ancho, es proporcional a la potencia de la corriente τ_ov, según lo documentado por Simons y Richardson (1966) en relación con la predicción de las formas de rugosidad del lecho en canales aluviales.

La descarga por ancho unitario es:

q = v d (12)

La concentración de sedimentos es:

C_s = q_s/(γq) (13)

Combinando las Ecs. 9 y 12:

C_s = k₁ v²/(gd) (14)

Para un canal hidráulicamente ancho, d ≅ D. Combinando las Ecs. 5 y 14, la concentración de sedimentos es:

C_s = k₁ F² (15)

Combinando las Ecs. 7 y 15:

C_s = k₁ (S_o/f) (16)

La relación entre f y n de Manning es, en unidades SI (Chow, 1959):

f = gn² / R^1/3 (17)

En unidades acostumbradas de EE.UU.:

f = gn² / (1.486² R^1/3) (18)

En general:

f = k₂ n² / R^1/3 (19)

En unidades SI:

k₂ = g = 9.81 (20)

En unidades acostumbradas de EE. UU.:

k₂ = g/1.486² = 32.17 / 2.208 = 14.568 (21)

4. RELACIÓN DE STRICKLER

La relación de Strickler entre Manning n y el tamaño medio de partícula d₅₀ es (Chow, 1959):

n = k₃ d₅₀^1/6 (22)

En unidades SI:

k₃ = 0.04169 (23)

con d₅₀ expresado en metros.

En unidades acostumbradas de EE. UU.:

k₃ = 0.0342 (24)

con d₅₀ expresado en pies.

Suponiendo que d_s = d₅₀:

n = k₃ d_s^1/6 (25)

n² = k₃² d_s^1/3 (26)

Combinando las Ecs. 19 y 26:

f = k₂ k₃² (d_s/R)^1/3 (27)

5. CONCENTRACIÓN DE SEDIMENTOS

La concentración de sedimentos es la siguiente:

C_s = k₁ (S_o/f) (16)

Sustituyendo la Ec. 27 en la Ec. 16:

C_s = k₁ S_o/[k₂ k₃² (d_s/R)^1/3] (28)

De este modo:

C_s = [k₁/(k₂ k₃²)] [S_o/(d_s/R)^1/3] (29)

Por lo tanto:

Q_s/(γQ_w) = [k₁/(k₂ k₃²)] [S_o/(d_s/R)^1/3] (30)

Q_s (d_s/R)^1/3 = [k₁/(k₂ k₃²)] γ Q_w S_o (31)

6. RELACIÓN DE LANE MODIFICADA

La relación de Lane es la siguiente (Lane, 1955):

Q_s d_s ∝ Q_w S_o (1)

Siguiendo la Ec. 31, la relación de Lane modificada es:

Q_s (d_s/R)^1/3 ∝ γ Q_w S_o (32)

La relación de transporte de sedimentos es:

Q_s = [k₁/(k₂ k₃²)] γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 (33)

En unidades SI:

Q_s = [k₁/(9.81 × 0.04169²)] γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 (34)

Q_s = 58.7 k₁ γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 (35)

En unidades acostumbradas de EE. UU.:

Q_s = [k₁/(14.568 × 0.0342²)] γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 (36)

Q_s = 58.7 k₁ γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 (37)

La función de transporte de sedimentos es adimensional; por lo tanto, es independiente del sistema de unidades.

El parámetro de transporte de sedimentos k₁ es el único a determinar por calibración. La experiencia indica que este parámetro varía típicamente en el rango 0.001 ≤ k₁ ≤ 0.01.

7. APLICACIONES

Suponga dos casos, el primero previo al desarrollo, y el otro posterior al desarrollo, con subíndices 1 y 2, respectivamente. Defínanse:

a = Q_s₂/Q_s₁ (38)

b = d_s₂/d_s₁ (39)

c = R₂/R₁ (40)

d = Q_w₂/Q_w₁ (41)

e = S_o₂/S_o₁ (42)

De la relación Lane modificada (Ec. 32):

a (b/c)^1/3 = d e (43)

Por lo tanto, el cambio de pendiente del canal es:

e = (a/d) (b/c)^1/3 (44)

Ejemplo 1

Un tramo de río que ingresa a un embalse, con a = 0,95, b = 0,95, c = 5 y d = 1, dará como resultado e = 0,55 (agradación en el embalse) (Fig. 1).

Sediment deposition at tail of reservoir

Fig. 1 Deposición de sedimentos en la cola del embalse.

Ejemplo 2

El tramo de un río aguas abajo de una represa de retención de sedimentos, con a = 0,3 y b = 1, c = 0,95 y d = 0,9, dará como resultado e = 0,34 (degradación aguas abajo). En la práctica, este último puede estar limitado por controles geológicos (acorazamiento o nivel de roca madre) (Fig. 1).

Sediment deposition at tail of reservoir

Fig. 2 Erosión del lecho rocoso aguas abajo de una represa de retención de sedimentos.

8. CALCULADORA EN LÍNEA

Dado: Descarga de agua Q_w = 100 m³/s; pendiente de fondo S_o = 0.001; radio hidráulico R = 2 m; tamaño de la partícula d_s= 1 mm, y k = 0.001. Utilice onlinemodifiedlane.php para calcular la descarga de sedimentos.

Resultado de la calculadora en línea: Descarga de sedimentos Q_s = 6,389.9 Toneladas métricas/dia.

9. EXTENSIÓN PARA m > 3

En el caso de que el exponente de la función de transporte de sedimentos sea m > 3 en la Ec. 8:

q_s = ρ k₁ v^m (8)

Entonces, la relación de Lane modificada es la siguiente:

Q_s (d_s/R)^1/3 ∝ γ Q_w S_o v^{m - 3} (45)

Por lo tanto, la relación de Lane de transporte de sedimentos es la siguiente :

Q_s = 58.7 k₁ γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 v^{m - 3} (46)

10. RESUMEN

Una nueva relación de Lane se deriva de principios básicos del transporte de sedimentos. Se expresa de la siguiente manera:

Q_s (d_s/R)^1/3 ∝ γ Q_w S_o (32)

A diferencia de la relación original de Lane:

Q_s d_s ∝ Q_w S_o (1)

la nueva relación (Ec. 32) es adimensional. Una ecuación de transporte de sedimentos se deriva de la relación de Lane modificada, aplicable para el caso del exponente de índice de sedimentos (Ec. 8) m = 3:

Q_s = 58.7 k₁ γ Q_w S_o (R/d_s)^1/3 (35)

Se desarrolla una calculadora en línea para resolver la ecuación modificada de Lane.

BIBLIOGRAFÍA

Chow, V. T., 1959. Open-channel hydraulics. Mc-Graw-Hill, New York.

Colby, B. R., 1964. Discharge of sands y mean velocity relations in sand-bed streams. U.S. Geological Survey Professional Paper No. 462-A, Washington, D.C.

Lane, E. W., 1955. The importance of fluvial morphology in hydraulic engineering. Proceedings, American Society of Civil Engineers, No. 745, July.

Ponce, V. M., y D. B. Simons, 1977. Shallow wave propagation in open channel flow. American Society of Civil Engineers Journal of the Hydraulics Division, Vol. 103, No. HY12, December.

Ponce, V. M., 1988. Ultimate sediment concentration. Proceedings, National Conference on Hydraulic Engineering, Colorado Springs, Colorado, August 8-12, 1988, 311-315.

Simons, D. B., y E. V. Richardson, 1966. Resistance to flow in alluvial channels. U.S. Geological Survey Professional Paper 422-J, Washington, D.C.

NOTACIÓN

a, b, c, d, e = proporciones de las variables hidráulicas previas y posteriores al desarrollo;

C = coeficiente de Chezy;

C_s = concentración de sedimentos;

d = profundidad de flujo;

D = profundidad hidráulica;

d_s = tamaño de partícula;

d₅₀ = tamaño medio de partícula;

f = factor de fricción igual a 1/8 del factor de fricción de Darcy-Weisbach;

F = número de Froude;

g = aceleración gravitacional;

k₁ = parámetro adimensional de transporte de sedimentos;

k₂ = parámetro de fricción;

k₃ = coeficiente en la relación de Strickler;

n = coeficiente de fricción de Manning;

q = descarga líquida, por unidad de ancho;

q_s = descarga de sedimentos por unidad de ancho;

Q_w = descarga de agua;

Q_s = descarga de sedimentos;

R = radio hidráulico;

S_o = pendiente de fondo;

v = velocidad media;

γ = densidad del agua, por peso;

ρ = densidad de agua, por volumen; y

τ_o = esfuerzo cortante de fondo.

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